量子力学期末考试答案题库2024秋

山东师范大学

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2. https://image.zhihuishu.com/zhs/doctrans/docx2html/202112/831617bf9bcd407280652fecc4aaf7c2.png


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答案:

5. 利用不确定度关系说明为什么一维谐振子存在零点能？


答案:根据不确定度关系，位置和动量的不确定性乘积满足不等式 ΔxΔp ≥ ħ/2。对于一维谐振子，即使在基态（即能量最低的状态），粒子仍然有非零的动量不确定性Δp和位置不确定性Δx。因为粒子被限制在谐振子势阱中，其位置不能完全确定，同时为了满足不确定度关系，粒子必须具有一定的动量不确定性，这意味着即使在静止状态下（这里的“静止”是指经典意义上的静止，而在量子层面并不存在真正意义上的静止状态），系统也拥有一定的能量，即零点能。因此，根据不确定度原理，一维谐振子的零点能的存在是量子力学基本现象的直接结果。

6. https://image.zhihuishu.com/zhs/doctrans/docx2html/202110/a39dcab880f74a62ae9e7bc888dd9369.png


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11. 简答：说明共振能级与束缚态能级的区别，并用不确定度关系解释为何一维有限深方势阱中束缚态能级低于相应的共振能级。


答案:共振能级通常与非束缚态相关，表现为粒子与势场相互作用时的暂时束缚状态，这些能级位于连续谱中，具有一定的宽度，反映其存在时间的有限性。 束缚态能级则是体系能量的离散值，对应于粒子被永久束缚在势场内，能量低于势垒顶部，不会逃离势场。 不确定度关系（ΔxΔp ≥ ħ/2）可用来解释一维有限深方势阱中束缚态能级为何低于共振能级。在有限深方势阱中，粒子被限制在一定区域内（Δx 较小），根据不确定度原理，其动量的不确定性Δp较大，意味着能量的 spread较宽。但作为束缚态，其能量本征值仍是离散且低于势垒高度，这是由于粒子波函数在整个阱内有显著的概率分布，能量相对确定。 相比之下，共振态虽然粒子大部分时间看似被“束缚”，但由于其能量接近或略高于势垒，粒子有更高的概率穿越势垒逃脱，导致其能量在连续谱中的分布有一个较宽的峰（即共振峰），能量不确定性大，因此平均来看，共振能级高于纯束缚态能级。