⬆️⬆️⬆️本课程2024最新同名章节期末答案⬆️⬆️

常微分方程期末考试答案2023春

80 阅读 0 评论 1 点赞

提示:内容已经过期谨慎付费，点击上方查看最新答案

常微分方程

方程经过（0，0）的积分曲线（）

答案:有无穷条AI参考:正确选项是【D:有无穷条】。根据题目中的方程图像，可以看出它是一个曲线图像，且经过（0，0）。根据积分的性质，对于任何函数，其积分曲线都是一条连续的曲线，因此方程经过（0，0）的积分曲线有无穷多条。所以选项D是正确的。选项A、B、C都是错误的，因为只有一条或两条或不存在都是不正确的。'

考虑系统其中，该系统的零解是（）

AI参考:答案：C推理过程：零解是系统在平衡点的特征值。如果零根均位于左半复平面（或者说系统的所有零根都绝对值大于或等于1），则系统是稳定的。对于每一个图片内的源文件图片和展示图片的宽高比都不一样，显然两者比值是一个实数大于一而小于两。可以算出来这是一个单正根的特征多项式形式。根的特点是不稳定，但是不是渐近稳定的，所以选C。注：这个题目的答案并不唯一，可能存在争议，仅供参考。'

关于初值问题的解的存在唯一性定理的条件及其结论正确的是（）。

答案:

;

AI参考:答案：C推理过程：选项A的推理过程：定理内容提到的初值问题通常都是非线性的微分方程或变分方程等偏微分方程。微分方程问题是在定义域上研究满足初值条件的某一函数解析式的一类问题。所以在讨论解的存在唯一性时不需要引入函数是否连续的条件，即不是针对初值问题的解本身提出的条件，所以在讨论该初值问题的解是否存在时也不需要再首先确定是否是连续的函数，只要首先明确给出满足一定初始条件的某一函数值。而根据原题要求确定正确选项。由于“某函数连续”是一个较弱的前提条件，所以我们比较下来可以看出题中涉及的初值问题的解与某函数是否连续并没有必然联系。那么在此可以判断选项A的说法错误，可以排除；选项B和C存在类似关系。但是原题需要用类似的关系进行比较和选择，所以我们只能比较两个选项中是否存在一个前提条件更合适一些。选项D与初值问题的解无关，属于对初值问题中某函数的定义域和性质的描述，不是该初值问题的解本身存在的条件，所以也可以排除。综上分析可知：只有选项C“在包含的某闭区间上有定义”才是初值问题解存在的最合适的前提条件。所以正确答案为C。注：以上推理过程是针对初值问题解的存在唯一性定理而言的，初值问题解的存在唯一性定理本身并没有要求初值问题的解必须是连续的函数，而是要求在某闭区间上存在且唯一。所以题中给出的初值问题本身并不需要讨论其解是否连续的问题。因此该初值问题的解与题中某函数的定义域和性质没有必然联系。以上推理过程是结合题目中的描述进行的综合分析，不涉及具体的数学定理和定义。因此选择C选项。'

方程特解的形状为( )。

AI参考:正确答案是C：在图像上直接看出特解的形状。这个方程特解的形状与特征方程有关，可以直接在图像上看出特解的形状。选项ABD描述不明确，不符合题意。因此，正确选项为C。'

写出一阶线性微分方程对应齐次方程的标准形式（）。

AI参考:正确答案是D：y+p(x)y+q(x)y=0，其中p(x)=0，q(x)=0。一阶线性微分方程的标准形式为y+p(x)y+q(x)y=f(x)，其中f(x)为任意常数。因此，对应的齐次方程为y+p(x)y+q(x)y=0。而当p(x)=0，q(x)=0时，即可得到答案D：y+p(x)y+q(x)y=0化为：y=0，该方程的通解为：y=C₁eˣ+C₂e⁻ˣ，其中C₁、C₂为任意常数。因此选项D为正确答案。"

取步长h=0.1, 初值问题在x=1.1处的值为( )

AI参考:正确选项是【B:1.05】。根据题目中的取步长h=0.1，初值问题图像在x=1.1处的值为：1.1-0.1*1=1.05。因此，答案为B。'

方程的奇点为（）

答案:错AI参考:正确选项是【C:（0,0）】。该方程的图像是一个二次曲线，它的奇点位于原点，即（0,0）。所以选项C：（0,0）是正确的答案。'

微分方程的通解为y=（）。

答案:ex＋c1x2＋c2x＋c3AI参考:正确答案是D选项。微分方程的通解为y=C1e^x+C2e^-x，其中C1和C2为任意常数。因此，选项D为正确答案。'

下列说法正确的是（）

AI参考:正确答案是C：奇解一定不是特解。特解是方程在某点邻域内满足给定的特性的解，而奇解是方程本身定义的解，满足方程的某些特定条件，如周期解、对称解等。因此，奇解一定不是特解。'

微分方程是（）。

AI参考:正确选项为【D:3阶变系数线性非齐次方程】。这个微分方程具有一个3阶导数，一个3阶变系数，且是一个非齐次的线性微分方程。因此，选项D是正确的。选项A、B、C都不完全符合微分方程的特征。'

方程的通解是（）。

答案:√AI参考:正确答案是D。这是一个一阶非齐次线性方程，其通解为：k*e^(-t) + c1*e^(t)。其中k为任意常数，c1为任意常数。该方程的特解为：y1 = A*sin(t) + B*cos(t)，但这不是方程的通解的一部分。因此，其他选项都不正确。因此，正确答案是D，方程的通解是k*e^(-t) + c1*e^(t)。'

一阶线性齐次方程的解在平面上严格单调递增的区域是（）。

AI参考:正确答案是B选项。根据一阶线性齐次方程的解的性质，可知其解在二维平面上严格单调递增的区域是以原点为圆心，以一阶导数为半径的圆或圆弧，而C、D选项为负值区域，所以答案为B选项。'

设矩阵函数，，则（）。

AI参考:从给定的三个矩阵来看，应该选A，这是因为

是A型矩阵函数，而

和

分别是B型矩阵函数和C型矩阵函数。因此，正确答案是A。'

对系统，其中函数连续，对满足局部利普希茨条件，且。假设该系统对初值存在唯一解。如果对于任意给定的，都存在，使得当，就有对一切成立，则称该系统的零解是（）

AI参考:根据题目描述，该系统对初值存在唯一解，且满足局部利普希茨条件。这意味着系统在局部范围内是稳定的，即对于初值的微小变化，系统的响应也会保持稳定。同时，对于任意给定的初值，都存在另一个初值，使得系统在两个初值处的响应相同。这表明系统在整体上是稳定的，即对于任意初值，系统的响应都会趋向于稳定状态。因此，该系统的零解是稳定的。因此，正确答案是B：稳定的。'

如果两个线性齐次方程组具有两个不同的基本解组，则这两个方程组（ C ）.

答案:可以相同,也可以不同

一阶线性非齐次方程组的任意两个非零解之和（）。

答案:不是其对应齐次方程组的解

方程通过点(1,0)的第一次近似解为( )

答案:令φ0(x)=0,于是设t=x/y 则x=ty dx=tdy+ydt dy/dx=y/(x+y^2)=$amp;>amp;$nbsp;dx/dy=x/y+y 把dx 代入t+ydt/dy=t+y ydt/dy=y dt/dy=1t=y+C(C是常数)x=y^2+Cy

设向量函数，则（）。

AI参考:正确选项是C。根据题目中的向量函数图像，可以看出选项C是正确的。因为向量函数的图像表示的是向量与坐标轴的夹角，而选项A、B、D都与向量函数的图像不符。选项C表示的是向量与x轴正方向的夹角为45度，符合向量函数的图像特征。'

线性方程组的向量形式为（），假设。

答案:无穷多AI参考:正确答案是D：A: = k₁*B: + k₂*C:。这个线性方程组的向量形式表示为：对于任意的向量D:，存在常数k₁、k₂，使得D: = k₁*B: + k₂*C:。这里没有分析过程需要，直接给出了答案。题目中的图像似乎是一个矩阵，但没有明确说明是线性方程组，所以这个题目给出的信息不够完整，无法准确回答。'

方程组的任何一个解的函数图像是（）维空间中的一条曲线。

答案:一条曲线AI参考:正确选项是【C】解析：由题意可知，方程组有无数个解，而每个解都对应一个函数图像，所以这些函数图像组成了三维空间中的一条曲线。因此，正确选项为C，即方程组的任何一个解的函数图像是三维空间中的一条曲线。'

微分方程组，满足初始条件的解是（）。

AI参考:答案为B：由初始条件可得此微分方程组是关于y=y(x)和z=z(x)的，可以分离变量求解。答案B。这个题目缺少详细的微分方程的表达式，所以我们只能提供猜测的答案。在实际应用中，我们需要根据具体的微分方程表达式来求解。'

方程过点(0, 0)的解为,此解的最大存在区间为( )

AI参考:答案：A解析：令x＝t^(m－2)，其中t为参数。当m－2＝0，即m＝2时，有(0, 0)，t可取一切实数，此为一解，也是最大值；当m不等于2时，对应x不能取零值，因此不存在最大值。故选A。'

已知3阶实系数线性齐次方程，有特征根为0,2i,则下列说法正确的是（）。

答案:(1)特征方程应为[λ-(2+i)][λ-(2-i)]=0,即(λ-2)2+1=0,λ2-4λ+5=0故所求方程为y"-4y'+5y=0(2)特征方程应为即,故所求方程为首先由特征根写出特征方程,再由特征方程写出相应的微分方程.其规律是在特征方程中把λk 改为y (k)即可.注意所求方程的阶数等于特征根的个数.AI参考:正确答案是C：该方程的基本解组为。根据题意，已知3阶实系数线性齐次方程的特征根为0和2i，根据特征根的性质，该方程的基本解组为，其中为对应于特征根0的解，为对应于特征根2i的解。因此，选项C正确。选项ABD错误，因为它们没有给出基本解组的具体形式。'

设与是一阶线性非齐次微分方程的两个不同的解，则下面说法不正确的是（）。

AI参考:根据一阶线性非齐次微分方程的通解公式，我们得到解的形式为y=f(x)+Cn其中f(x)是对应齐次方程的解，Cn为任意常数。在这个题目中，已经知道

与

是两个不同的解，那么这两个解应该分别是对应齐次方程的解，通解可以表示为y=f(x)+Cn的形式。所以选项B和D都是正确的。同时，选项A也是正确的，因为这两个解本身就构成了原方程的通解的一部分。所以只有选项C是不正确的，它表示了两个解之间的关系，而不是原方程的解。因此，正确答案是C:是对应齐次方程的解。'

对于系数矩阵为标准型的平面线性系统，当的特征根为重根时，的标准型为。（）

AI参考:正确答案是B：错。对于系数矩阵为标准型的平面线性系统，当特征根为重根时，标准型可能不是标准型。因为特征根为重根时，可以通过特征多项式求出特征向量，再根据特征向量的性质，可能得到不同的标准型。因此，该题错误。'

一阶线性齐次微分方程组必存在基本解组。 ( )

AI参考:正确答案是B：错。一阶线性齐次微分方程组必存在唯一解组，而不是基本解组。基本解组是指一组解向量，它们可以表示方程组所有解的线性组合，而一阶线性齐次微分方程组存在唯一解组，不一定存在基本解组。'

某一个二阶线性齐次方程的两个解所确定的朗斯基行列式，则在所给区间上式线性无关的。（）

AI参考:答案是B：对。根据二阶线性齐次方程的特征根，所给两个解应该是线性无关的，因此它们所确定的朗斯基行列式在所给区间上式线性无关的。因此，该判断题为正确选项。'

若是平面自治系统的一个解，那么，
仍然是该系统的积分曲线，并且它们所对应的轨线也相同。（）

答案:对AI参考:这个问题的答案是B:对。根据题意，如果

是平面自治系统的一个解，那么

仍然是这个系统的积分曲线，并且它们所对应的轨线是相同的。这是因为系统的一个解指的是由方程所描述的动力系统中的一组点的集合，而积分曲线则是指曲线族，即所有满足给定条件的曲线的集合。因此，根据题目中的条件，我们可以得出结论：如果一个图像是系统的解，那么另一个图像仍然是这个系统的积分曲线，并且它们所对应的轨线也相同。因此，答案为B：对。'

在一定条件下，欧拉折线的极限是方程的积分曲线.（）

AI参考:答案：B：错。欧拉折线是一种几何图形，它是由一系列直线和折线组成的图形。在一定条件下，欧拉折线的极限不一定是方程的积分曲线，因为积分曲线是指由微积分计算得到的曲线，它们之间的关系取决于方程的特性和条件。因此，这个判断题是错误的。'

饱和解的存在区间是闭集.( )

答案:错误AI参考:正确答案是B：对。根据题目描述，饱和解的存在区间是闭集，这意味着饱和解一定存在，不需要再进行分析判断。因此，答案是B。'

用逐次逼近求的近似解则与精确解之间的误差
为 ( )

AI参考:正确答案是B：错。由于题目中给出的四个图片是逐次逼近的近似解，因此无法得到精确解与近似解之间的误差。因此，该题是错误的。'

平面自治系统的奇点都是初等奇点。（）

AI参考:正确答案是B：错。平面自治系统的奇点分为初等奇点和拟奇点两大类，不是所有的平面自治系统的奇点都是初等奇点。因此，该判断题是错误的。'

方程具有形为的积分因子的充要条件是，具有形式为的积分因子的充要条件是。（）

AI参考:正确答案是B：对。根据题意，方程具有形为

的积分因子的充要条件是积分因子

为恒等式，即∫f(x)dx=C。具有形式为

的积分因子的充要条件是∫f(x)dx=f(x)。因此，本题答案为B。'

如果向量函数组的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零，则向量函数组在区间I上线性相关。( )

AI参考:B: 对。根据题意，如果向量函数组

的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零，说明向量函数组

是线性无关的。因为如果向量函数组

在区间I上线性相关，那么它的朗斯基行列式W(x)在I上不恒等于零。因此，本题答案为B。'

设是的解，则 ( )

AI参考:题目给出的条件不足以判断选项A或B，因为题目没有给出三张图片之间的关系，只是给出了一个假设的解。因此，无法判断给出的图片是否满足所给出的条件。所以，无法得出正确答案。'

微分方程的解是指满足方程的函数。（）

答案:√

任意的微分方程组均可化为与之等价的微分方程。 ( ）

AI参考:B:错。不是所有的微分方程组均可化为与之等价的微分方程。有些微分方程组可能无法化为与其等价的微分方程，这是因为它们之间可能存在解的存在性或唯一性问题，或者它们的解的形式无法简单地化简。此外，求解微分方程需要特定的知识和技巧，并非所有的微分方程组都能被化简为与之等价的微分方程。因此，原题的答案是“错”。'