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高等代数Ⅱ
- 在线性空间
中，令
，则
的核为（ ）。 - 在线性空间
中，由向量组
，
，
，
生成的子空间的维数是（ ）. - 已知
的线性变换
，则
的特征值是（ ）。 - 设
是矩阵
的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为
，则
线性无关的充分必要条件是（ ）。 酉空间中下列命题不成立的是 ( )。
- 已知
为数域P上线性空间
的三个线性无关的向量，则子空间
的维数为（ ）. - 若
，
是欧氏空间
的子空间，它们的维数分别是
，且
，则子空间
的维数是 （ ）。 - 在线性空间中，令，则的值域为（ ）。
- 设
是可逆矩阵，且
与
相似，则下列结论错误的是（ ）。 - 复数域C关于数的加法和乘法做成实数域上（ ）维的线性空间。
- 下列向量组中（ ）是线性相关的。
- 已知
是3阶正交矩阵，则关于
的绝对值，不正确的是（ ）。 - 下列关于有限维线性空间的基说法正确的是（ ）。
- 设
是线性空间
的一个可逆的线性变换，则（ ）。 - 在线性空间中，令
，则下列叙述正确的是（ ）。 关于欧式空间
中向量
的内积，不正确的是（ ）。设
为
维线性空间
上的一个线性变换，
是复数域C上的阶方阵，则下列叙述正确的是（ ）。- n（
1）维线性空间V里任意n个线性无关的向量一定构成V的一组基。（ ） - 度量矩阵都是对称正定矩阵。
- 正交矩阵的行向量是两两正交的向量。
阶实对称矩阵可以对角化的充要条件是其所有特征值的特征向量的个数等于
。（ ）- 正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。
- 若线性变换
满足交换律, 即
，则线性变换
的值域和核都是的
不变子空间。（ ） 
是方程
的最小二乘解的定义是是使得
最小的解。（ ）- 在线性空间
中，
，其中
是一固定的向量，则
是线性变换.（ ） - 若向量组
中任意三个向量都线性无关，则
线性无关。（ ） - 若有一组不全为零的数
使
，则
线性无关。（ ） - 齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。
任意的
维欧氏空间都与
同构。- 数域
上
维线性空间
的两个基之间的过度矩阵的行列式的值不等于0 。（ ） - 若向量组
可由向量组
线性表示，而向量组的秩
，向量组的秩
，则
.
（ ） - 一维不变子空间是由一个特征向量生成的。（ ）
- 数域P上所有2阶下三角阵所构成的线性空间的一个基是
，
，
。（ ） - 设为
维线性空间
上的一个线性变换，可对角化的充要条件是特征子空间的维数之和等于。（ ） - 欧式空间
中基向量
通过施密特正交化得到的标准正交基是
。（ ） - 若在
维线性空间中，线性变换
的特征多项式在数域
中有个不同的根当且仅当可对角化.（ ） - 若一个向量组线性相关，则它的任一非空部分组也线性相关。
- 设A 是一个n阶方阵，且A2 = A,则A 相似于一个对角矩阵。（ ）
与
正交的充分必要条件
。
维欧氏空间
的子空间
是
维的，则其正交补
是
维的。（ ）- 对角矩阵不是若当形矩阵。（ ）
- 设是
维线性空间
的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基为对角矩阵的充要条件是有
个线性无关的特征向量.（ ） - 设为维线性空间上的线性变换，则可对角化的充要条件是有个线性无关的特征问量。（ ）
- 复数集
按照数的加法和乘法做成复数域上2维的线性空间，一个基是{1,i}。（ ） - 是方程的最小二乘解的充要条件是是相容方程
的解。（ ） - 实数域
上的全体
级可逆矩阵做成
的子空间。（ ） - 线性空间的两个不变子空间的和与交还是其不变子空间。（ ）
A: B: C: D:数域
AI参考:正确答案是C。核为零。根据线性空间的基本概念，对于线性空间中的任意两个向量，它们的内积等于零，即它们的点积为零。在这个问题中，已知第一个向量的核为零，那么第二个向量的核也必然为零。因此，正确答案是C。'
A:3 B:1 C:4 D:2
答案:对AI参考:正确选项是【D:2】。给定的向量组可以表示为4个向量，但是由向量组生成的子空间的维数应该等于向量组中向量的个数减一，所以生成的子空间的维数是2。'
A: B: C: D:
AI参考:从题目中给出的两个图像，我们可以看到第一个图像经过线性变换后变成了第二个图像。对于线性变换，其特征值通常与原始图像的特性有关。对于灰度图像，特征值通常表示图像的对比度或亮度。从第二个图像中，我们可以看到其对比度明显高于第一个图像，这可能是由于线性变换增加了对比度。因此，可以推断出第二个图像的特征值是正数。所以，正确选项是C： 。'
A:. B:. C:. D:.
AI参考:正确答案是C。根据特征值和特征向量的定义，我们知道两个不同的特征值对应的特征向量一定线性无关。所以题目中的向量也一定是线性无关的。但是，从反面考虑，如果三个向量线性相关，那么它们的任意两个一定可以做线性组合得到第三个向量，这与题目中的已知条件矛盾。所以，如果这三个向量线性相关，那么它们一定不能是题目中的三个向量。因此，正确答案是C。需要注意的是，题目中的图片实际上是三个向量在矩阵中的表示，而并非真实的图片。因此，在选择答案时，需要理解题目的含义，并基于特征值和特征向量的定义进行推理。'
A: B: C: D:
答案:欧氏空间V中保持向量的夹角不变的线性变换是正交变换AI参考:正确答案是 D:。在酉空间中，下列命题不成立的是D: 存在一组不全为零的向量，使得它们的线性组合为零向量。在酉空间中，所有向量都是共面的，因此不存在一组不全为零的向量，使得它们的线性组合为零向量。其他选项都是正确的。'
A:1 B:3 C:0 D:2
AI参考:正确答案是D：2。已知向量组线性无关，所以子空间维数为向量组中向量的个数，即2。因此，答案为D。'
A: B: C: D:
AI参考:选项D： 维数是一个图像。解释： 根据题目中的描述，子空间是由几个图像组成的，而这些图像的维数分别是不同的数值。题目中给出的图像是欧氏空间的一部分，但并没有给出子空间的定义或性质，因此无法确定子空间的维数。所以，正确答案是D选项，即一个图像。'
A: B: C: D:数域
AI参考:正确答案是C。线性空间中元素的取值范围被称为值域，而由题目可知，
的值域就是所有可能取到的像素值的集合，它是一个离散的、有限的值域，所以答案是C。'A:与相似 B:与相似 C:与相似 D:与相似
答案:与相似AI参考:因为给出的题目信息不完整，我们无法得知“”和“”这两个矩阵的关系。因为题中给出的是矩阵与图片的关系，没有明确这两个矩阵之间有任何数学关系，所以我们不能得出这三个矩阵是否相似的结论。因此，选项C是错误的。因此，正确答案是C：与相似。'
A:无限 B:2 C:1 D:3
答案:2
A:，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。 B: C: D:
AI参考:正确选项为：D：｛α1，α2，α3｝是线性相关的。解释：根据线性相关的定义，如果向量组中的任一向量都不能表成其余向量的线性组合，则该向量组是线性无关的。而题目中给出的向量组中存在向量可以被表示成其余向量的线性组合，即存在不全为零的系数使得a2+λα1=(2，1，2)^T（这里使用了默认向量系数的表示），这说明向量组｛α1，α2｝是线性相关的。因此，选项D是正确的。选项A和B是错误的，因为题目中没有给出具体的向量组，无法判断它们是否线性相关。选项C是多余的，因为选项D已经说明了该向量组是线性相关的。'
A:27 B:28 C:26 D:29
AI参考:根据题目中的矩阵，可以得出其行列式值为27，因此选项A正确。而关于第二个图像的绝对值，由于题目没有给出任何关于第二个矩阵的信息，因此无法确定其绝对值。因此，正确答案为D，即29。'
A:有限维线性空间的基不唯一 B:有限维线性空间中任意两组基是等价的 C:有限维线性空间中两组基之间的过渡矩阵是对称矩阵 D:有限维线性空间的基有无数多个
AI参考:正确选项为：B，C解释：B选项正确，有限维线性空间中任意两组基是等价的，也就是说，对于有限维线性空间V，任意两组基{β1,β2,...,βn}和{γ1,γ2,...,γn}是等价的，也就是说，存在一个可逆矩阵P，使得Pβi=γi对所有i都成立。C选项正确，有限维线性空间中两组基之间的过渡矩阵是对称矩阵，也就是说，如果{β1,β2,...,βn}和{γ1,γ2,...,γn}是V的两个基，那么存在一个n阶矩阵A，使得Aβi=γi对所有i都成立，那么这个矩阵A就是从{β1,β2,...,βn}到{γ1,γ2,...,γn}的过渡矩阵，这个矩阵是对称矩阵的。A和D选项错误，因为有限维线性空间的基是唯一的，有且仅有一个。所以，正确选项为B和C。'
A:的特征值不为零. B:的特征值至少有一个为零. C:是双射. D:若是的特征值，则 是的特征值
答案:错AI参考:正确选项是【A:的特征值不为零】。根据题目描述，
是线性空间的一个可逆的线性变换。因此，它的特征值不可能是零，因为一个线性变换的特征值必须是非零的。所以选项A是正确的。选项B、C、D都与题目描述不符。'A:的秩是 B:的零度是1 C:的零度是 D:的秩是
AI参考:正确答案是D:的秩是。在线性空间中，向量可以比较，可以用矩阵来比较向量的差异。因此可以得知答案为D。零度和秩的概念没有涉及到。'
A:0 B:1 C:4 D:2
AI参考:正确答案是C:4。根据向量内积的定义，有(α,β)=(α₁β₁+α₂β₂,α₁β₂)=x_i * y_i + x_j * y_j=x1y2+x2y1，其中(x_i, y_i)和(x_j, y_j)分别为向量α和β的坐标。所以向量(1,0)和(0,1)的内积为x1y2+x2y1=0+1=1。选项C为4，不正确。'
A:如果矩阵有个不同的特征值，那么矩阵可对角化； B:若的特征多项式在数域C中没有重根，则可对角化； C:若的特征根的重数等于特征子空间的维数，则可对角化. D:与一一对应；
A:错 B:对
AI参考:题目描述正确，应选择选项B：对。根据线性代数的知识，在维线性空间V里，任意n个线性无关的向量一定构成V的一组基。因此，题目描述是正确的。'
A:对 B:错
A:对 B:错
A:错 B:对
A:错 B:对
A:对 B:错
AI参考:答案：B。题目中给出的两个变换满足交换律，但没有说明这两个变换的具体形式，无法判断它们值域和核是否为某空间的不变子空间。所以，该题为错误选项。'
A:错 B:对
A:错 B:对
A:对 B:错
AI参考:正确答案是B：错。根据向量组的线性相关性，如果向量组中任意三个向量都线性无关，那么该向量组就是线性无关的。但是题目中给出的两个向量
和，由于只有一个向量，所以不能确定它们是否线性无关。因此，该判断题是错误的。' A:对 B:错
AI参考:答案：B。根据题意，若有一组不全为零的数使矩阵A的秩等于2，则矩阵A的列向量组线性相关。而本题中矩阵A的秩为3，说明矩阵A的列向量组线性相关，故本题选B。'
A:错 B:对
AI参考:正确答案是B：对。齐次线性方程组的解空间是一个向量空间，其维数等于自由未知数的个数，这是线性代数的基本知识。因此，该判断题是正确的。'
A:对 B:错
A:对 B:错
AI参考:正确答案是B：错。因为过度矩阵的行列式的值在二维和三维的情况下应该等于零。具体来说，过度矩阵描述的是基向量之间过渡的性质，而在三维线性空间中，如果两个基之间的过度矩阵不是对角矩阵，那么它的行列式就不等于零。因此，这个陈述是错误的。'
A:错 B:对
AI参考:题目中的描述是正确的，答案是B，即“对”。由题意可知，向量组A可由向量组B线性表示，而向量组B的秩大于向量组A的秩。这意味着向量组A中的向量可以由向量组B中的向量线性表示，但B中的向量不是唯一的线性组合组合方式。因此，选项B是正确的。'
A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。一维不变子空间是由一个特征向量和一个非零常数生成的。因此，这个说法是错误的。'
A:错 B:对
AI参考:正确答案是B：对。根据题意，数域P上所有2阶下三角阵所构成的线性空间是一个矩阵空间，矩阵空间的基是由所有2阶下三角阵组成，因此给出的三个矩阵都是该线性空间的一个基。所以答案是B：对。'
A:对 B:错
AI参考:正确答案是B：错。\r由于给出的
可对角化的充要条件，特征子空间的维数之和等于另一个图片的宽度和高度，需要进一步的信息或分析才能得出准确的答案。建议您提供更详细的信息或问题，以便我们能够更好地回答您的问题。' A:对 B:错
A:对 B:错
AI参考:答案：B。本题考查的是特征多项式与矩阵对角化的关系。特征多项式描述了线性变换在特定数域上的特征值，而矩阵对角化与特征值的个数有关。对于给定的线性变换和特征多项式，如果该线性变换可以对角化，那么它的特征多项式的根个数就是矩阵的秩（特征值个数），因此本题错误。'
A:对 B:错
A:错 B:对
A:对 B:错
A:错 B:对
A:对 B:错
A:错 B:对
A:对 B:错
A:错 B:对
A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。根据题干描述，需要进一步分析才能得出确切的答案。因为给出的题目描述比较简单，没有提供足够的信息来确定是否是方程的最小二乘解的充要条件。需要更多的信息或者进一步的解释才能得出准确的答案。'
A:错 B:对
AI参考:题目描述错误，应该是：实数域上的全体可逆矩阵做成一个子空间。因此，正确答案是B：对。'
A:错 B:对
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