1.图G的围长定义为图G的最短圈的长度（若图G中无圈，则定义G的围长为无穷大）. Petersen图的围长等于（ ）.
A:5
B:6
C:4
D:3
答案:AI参考:答案：C\n推理过程：\nPetersen图是一个五元图，它有两个圈，一个圈的长度为5，另一个圈的长度为无穷大（因为无法构成封闭路径），所以围长为4。'
2.设T是一棵最大度为
的森林，则T的边色数等于（ ）.
A:
B:
C:
D:
答案:AI参考:答案：A\n解析：由于树可以看成是一棵没有父节点的根节点和若干条有向边组成的森林，森林中每个树的度就是构成该树的边数。本题森林中的树的根节点数是4，即有向边的数目为4。因此选A。'
3.
本题中所示图的连通分支数等于（ ）.
A:1
B:2
C:4
D:3
答案:AI参考:本题中所示图的连通分支数为3。这是一个由三个子图构成的图形，每个子图都可以单独成为一个连通分支。因此，正确选项为D：3。'
4.顶点数为6的非同构2-正则简单图共有（ ）.
A:2个
B:0个
C:1个
D:3个
答案:AI参考:正确答案是D：3个。\n\n非同构2-正则简单图即所有的顶点的度数都相同，并且所有的顶点的度数均为偶数。非同构意味着有相同的边的数目和种类，2-正则意味着所有顶点的度数为2，因此每张图的边的数目应该为奇数。同时，因为是简单图，即没有重边。根据以上的要求和限制，图的总数可以用下面的公式算出：N=C^3*(3^5) (C^3表示从3个顶点中选3个作为一组，共有C^3种选法；3^5表示从5个顶点的度数中选一个作为度数，共有3^5种选法)。因此，顶点数为6的非同构2-正则简单图共有3个。'
5.设
是图G的所有连通分支，且
的色数分别等于2,3,5，则G的色数等于（ ）.
A:3
B:2
C:10
D:5
答案:AI参考:答案：D\n解析：\n由于G是图，所以G的色数即为G中可能出现的着色数。题中要求判断色数大小，且图片展示两个颜色间隔对应点不在同一条边上，且两者与第一个颜色间隔对应的点不在同一条边上，所以G的色数等于5。\n\n故答案为D。'
6.设G =(X,Y) 是完全二部图，且X, Y中分别含有m,n个顶点，则G的边数等于（ ）.
A:m/n
B:m - n
C:m + n
D:mn
答案:AI参考:正确答案是C：m + n。\n\n完全二部图G =(X,Y)的边数等于X和Y中顶点的总数，即m+n。因为完全二部图中的每一条边都连接了一个X中的顶点和Y中的一个顶点。'
7.设有平面上n（n大于等于3）个点构成的集合S，其中任两点之间的距离至少是1，则S中距离恰好等于1的点对至多有（ ）.
A:3n-9对
B:3n-8对
C:3n-6对
D:3n-7对
答案:AI参考:正确答案是D，3n-7对。\n\n根据题目条件，任意两点之间的距离至少是1，说明这些点之间最多只有两个点距离为1。因此，所有满足条件的点对数量最多为所有点对的三分之一减去距离为2及以上（即大于2）的点对数量。由于任意两点之间的距离至少是1，所以距离大于2的点对数量最多只有n-2个。因此，距离恰好等于1的点对数量最多为(n-2) × 3/2 - 1，即3n/2 - 7，其中1≤n≥3。所以选项D为正确答案。'
8.
本题所给图的非同构生成树的个数等于（ ）.
A:2
B:4
C:3
D:1
答案:AI参考:正确答案是C：3。\n本题是一个二叉树的问题，根据二叉树的性质，非同构生成树的个数等于二叉树节点数减一，所以本题所给图的非同构生成树的个数为8-1=7，即3个。因此，正确答案为C。'
9.Petersen图的最大匹配所含边的条数为（ ）.
A:2
B:3
C:5
D:4
答案:AI参考:单选题】Petersen图的最大匹配所含边的条数为（ ）。D: 4。在Petersen图中，使用最大匹配时，只有一个顶点会被分配到匹配中，因此匹配的边数为4。'
10.
完全二部图
(m,n均大于0)是Hamilton图的充分必要条件是（ ）.
A:m > n，m < n，m = n都不对 B:m > n C:m = n D:m < n
答案:AI参考:答案应该是B:m > n。完全二部图是所有顶点可以分为两个完全集合并允许一条边连接两个集合中不同的元素。为了图是Hamilton图，也就是可以画出一个闭环，也就是说如果集合一中的节点可以不断地从一个集合并到另一个集合并不断重回原来的节点（只返回）那图就可以形成闭环，那这样的话集合并的节点数就必须要大于二了，也就是m > n。\n\n注意，选项D的错误在于：虽然对于一些m < n的情况是完全二部图可能不是Hamilton图，但m < n并不一定是必要条件，也就是说，不完全符合问题的描述。因此D选项不正确。而A和C选项过于绝对化，并不符合问题的实际情况。因此只有B选项完全符合问题的描述。所以选择B。\n\n不过这是一个图像表示的数学问题，这种问题的文字解释可能会有点抽象和困难，但是基于题目的图像可以直接显示出该图的结构，因此通常还是直接从图像来考虑问题的。不过要注意，完全二部图的m和n并不能直接决定是否为Hamilton图，还需要考虑其他因素。'
11.
该图的最小点覆盖集的个数等于（ ）.
A:1 B:3 C:4 D:2 12.完全二部图
(m,n均大于0)是Euler图的充分必要条件是（ ）.A:m,n均为偶数 B:m,n均为奇数 C:m为偶数, n为奇数 D:m为奇数, n为偶数 13.设G是有n个顶点m条边的简单图，则下列哪些可以作为G是树的等价条件（ ）.
A:G连通且m = n-1 B:G无圈且m = n-1 C:G连通，且对G中的任意一条边e，G - e不连通 D:G连通，且对G的任意两个不相邻的顶点u与v，G + uv恰有1个圈 14.当k取下列哪些值时，k维立方体图是Euler图（ ）.
A:4 B:3 C:2 D:1 15.简单图G的补图H是指和G有相同顶点集的一个简单图，在H中两顶点相邻当且仅当它们在G中不相邻. 则下列正确的是（ ）.
A:|V(G)| = |V(H)| B:|E(G)| = |E(H)| C:四个顶点的路的补图同构于它自身 D: 16.
下列选项中，哪些是该图的极大独立集（ ）.
A: B: C: D: 17.如果图G的任二奇圈都有公共顶点，则G的色数不超过5.（ ）
A:对 B:错 18.设G是简单图且其最小度至少为k，则G中一定有长为k的路.（ ）
A:对 B:错 19.若图G的最小度至少为2，则G中一定有圈.（ ）
A:错 B:对 20.Petersen图中长度等于6的圈的个数等于（ ）.
A:7 B:10 C:8 D:9 21.正六面体的顶点数、边数和面数分别为（ ）.
A:8,12,6 B:9,11,6 C:8,12,7 D:7,12,6 22.正十二面体的顶点数、边数和面数分别为（ ）.
A:18,30,12 B:20,30,12 C:18,28,12 D:20,30,11 23.五个顶点的非同构的树有（ ）.
A:3个 B:5个 C:2个 D:4个 24.正二十面体的顶点数、边数和面数分别为（ ）.
A:13,31,20 B:13,30,20 C:12,30,20 D:12,31,20 25.若图G与H同构，则下列正确的是（ ）.
A:G与H有相同的顶点数 B:G与H有相同的度序列 C:G与H有相同的边数 D:G与H所含三角形（即长度等于3的圈）个数相等 26.本题中所给图能一笔画成（即笔不离纸、线不重复）.（ ）
A:正确 B:错误 27.本题中所示图是Hamilton图.（ ）
A:正确 B:错误 28.本题中所示图没有完美匹配.（ ）
A:错误 B:正确 29.对二部图G = (X,Y), X和Y都是控制集，也都是独立集.（ ）
A:正确 B:错误 30.一棵树T最多只有一个完美匹配.（ ）
A:正确 B:错误 31.不可平面图的每个子图也是不可平面图.（ ）
A:错误 B:正确 32.Petersen图是Hamilton图.（ ）
A:错误 B:正确 33.本题中所示图是Hamilton图.（ ）
A:正确 B:错误 34.任意图的边色数不超过它的最大度加1.（ ）
A:正确 B:错误 35.设G =(X,Y)是k -正则二部图，则X与Y所含顶点的个数可以不相等.（ ）
A:正确 B:错误 36.图G是不可平面图.（ ）
A:正确 B:错误 37.任意两个顶点均由唯一的路所连接的简单图一定是树.（ ）
A:正确 B:错误 38.至少有两个顶点的树的最长路的起点和终点的度都等于1.（ ）
A:正确 B:错误 39.如果图G的任二奇圈都有公共顶点，则G的色数不超过5.（ ）
A:正确 B:错误 40.k(k > 0)正则二部图一定存在完美匹配.（ ）
A:正确 B:错误 41.图G是连通图当且仅当存在G的某个顶点与其它顶点都有边相连.（ ）
A:错误 B:正确 42.设G是连通图，则G的边数大于或等于G的顶点数减去1.（ ）
A:对 B:错 43.每个没有割边的3-正则图都有完美匹配.（ ）
A:正确 B:错误 44.本题中所给的两个图G与H同构.（ ）
A:错误 B:正确 45.最大度大于或等于k的树中至少有k个度等于1的顶点.（ ）
A:错误 B:正确 46.如果图G的直径至少是3，则其补图的控制数不超过2.（ ）
A:正确 B:错误 47.若图G中存在从u到v的途径，则G中必存在从u到v的路.（ ）
A:错误 B:正确 48.设G是简单图且G的每个顶点的度等于2，则G是一个圈.（ ）
A:正确 B:错误 49.任意二部图的边色数等于它的最大度.（ ）
A:错误 B:正确 50.5个顶点的完全图不是可平面图，但其删掉任一条边后所得之图是可平面图.（ ）
A:正确 B:错误 51.任意图的边色数大于或等于它的最大度.（ ）
A:正确 B:错误 52.Petersen图是二部图.（ ）
A:错误 B:正确 53.恰有两个1度顶点的树一定是一条路.（ ）
A:正确 B:错误 54.任何k-边连通图都是k-连通图.（ ）
A:正确 B:错误 55.本题中所示图是Hamilton图.（ ）
A:正确 B:错误 56.Petersen图删除任一顶点后所得之图是Hamilton图.（ ）
A:正确 B:错误 57.若G是n个顶点的连通图，则图G的色多项式满足.（ ）
A:错误 B:正确 58.不是块的连通图G至少有两个块，他们每个恰含有G的一个割点.（ ）
A:对 B:错 59.平面图G的顶点数等于它的对偶图的面数.（ ）
A:错误 B:正确
