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概率论期末考试答案2023春

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概率论

以下哪组二维联合密度函数对应的二维随机变量是相互独立的？（）。

AI参考:正确答案是D: 。根据二维联合概率密度的性质，两个随机变量相互独立，它们的二维联合概率密度函数可以分解为各自一维概率密度函数的乘积，即 f(x, y) = f(x)f(y)。所以只有选项D符合条件，因为对于其他选项A、B、C，它们的二维联合概率密度函数并不是相互独立的分解形式。因此，正确答案是D。'

现有两颗均匀的骰子，分别为红色和绿色。计算给定红色骰子的结果大于绿色骰子结果的情况下，两个骰子结果之和为奇数的概率为 ( ）

AI参考:正确答案是B：1/4。根据题目描述，我们需要计算两颗骰子的结果之和为奇数的概率，同时满足红色骰子的结果大于绿色骰子的结果。根据古典概型的计算方法，我们可以列出所有可能的结果，并计算符合条件的结果数占总结果数的比例。共有12种红色骰子的结果，绿色骰子的结果共有6种，其中两颗骰子的结果之和为奇数的可能性有4种，分别为：红2、绿5；红3、绿4；红4、绿3；红5、绿2。因此，两个骰子结果之和为奇数的概率为上述可能性数/总可能性数 = 4/18 = 2/9。由于题目要求同时满足红色骰子结果大于绿色骰子结果的条件，因此还需要再乘上红色骰子结果大于绿色骰子结果的概率，即红色骰子取到大于绿色骰子的结果的概率。对于这个问题，只有一种情况是满足条件的，即红色骰子取到红色，概率为1/12。因此，最终答案为红色骰子结果大于绿色骰子结果且两个骰子结果之和为奇数的概率 = 1/12 × 2/9 = 1/4。所以，正确答案是B。'

设为一列随机变量，为常数。则依概率收敛到是指（）。

AI参考:答案：A解析：依概率收敛，指的是一个随机变量的极限分布列中的所有随机变量依概率收敛于一个极限分布，而不是指具体的数值。所以答案为A。'

重复掷一颗均匀的骰子，直到出现连续两个6点为止，则平均需要掷（）次。

AI参考:正确答案是D，即平均需要掷24次。解释如下：每次掷骰子出现6点的概率是1/6，连续出现两个6点的概率是(1/6)^2，所以平均需要掷的次数是1/（(1/6)^2）=24次。因此，答案为D选项。'

设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数（）。

答案:恰好有一个间断点;

甲、乙二人独立地向目标射击一次，其命中率分别0.6，0.5，现已知目标被击中，则它只是由乙击中的概率是（）。

答案:0.75

一家保险公司估计，仅有汽车保单的投保人中有40%明年会续保，仅有房屋保单的投保人中有60%明年会续保。该公司估计，在同时拥有汽车保险和住房保险的投保人中，有80%的人明年至少会续签其中一项保单。公司记录显示，65%的保单持人有汽车保单，50%的保单持人有房屋保单，15%的保单持人既有汽车保单又有房屋保单。则明年将至少续订一份保单的投保人的百分比为（）。

AI参考:答案：A。这道题目的关键是理解题目中给出的各种保单持有人的百分比，并运用逻辑推理来解决问题。首先，根据题目，仅有汽车保单的投保人中有40%明年会续保，仅有房屋保单的投保人中有60%明年会续保。这意味着，在只有一种保险的投保人中，有40%的人会续签汽车保险，有60%的人会续签房屋保险。其次，题目告诉我们，在同时拥有汽车保险和住房保险的投保人中，有80%的人明年至少会续签其中一项保单。这就意味着同时拥有汽车和房屋保险的投保人中，有80%的人至少会续签其中一份保险，但可能有另外一种保险，也可能两者都会续签。接下来，我们注意到保单持人既有汽车保单又有房屋保单的百分比为15%。这表示这两种保险的组合包含了一部分保单持人，而这部分人的选择会影响到总体的续签率。现在我们可以将这些信息结合起来，使用逻辑推理来计算总体的续签率。我们知道汽车保险持有人中有40%会续签，房屋保险持有人中有60%会续签，同时这两种保险都有的15%的人可能会至少续签一项，也有可能两项都续签。而总共有一些人只有一种保险但会续签（40%+60%-80%=20%）。所以我们可以得出结论：至少续签一份保单的投保人的百分比为（40%+60%-80%+20%）=29%。因此，正确答案是A：29%。'

假设患者到初级保健医生(PCP)办公室就诊，既没有进行实验室检测，也没有转诊给专家的概率为35%。若到PCP办公室的患者中，30%被转诊给专家，40%需要实验室检测。计算最终去实验室检测且转诊给专家的概率为（）。

AI参考:答案：E。首先，到PCP办公室就诊的患者中，有40%需要实验室检测，30%被转诊给专家。而最终去实验室检测且转诊给专家的概率，即是需要实验室检测的概率乘以被转诊给专家的概率，即40%×30%=12%。因此，正确答案是E。'

设是两个互不相容的事件，，，则一定成立（）。

AI参考:正确答案是C。根据题目描述，

是两个互不相容的事件，所以

和

之间也一定是互不相容的。因此，选项C“一定成立”是正确的。'

已知，用切比雪夫不等式估计（）。

答案:0.96AI参考:答案为D。题目描述的情景与切比雪夫不等式无关，所以无法应用切比雪夫不等式来估计。请注意，如果题干描述中有关于数学、统计学、概率论等概念或公式的相关信息，可能会影响解题。在此情况下，需要根据题干信息进行分析和计算。而本题中，题干没有提供相关信息，无法应用切比雪夫不等式进行估计。'

设随机变量，且 , 则（）。

AI参考:正确答案是C：0.2。根据题意，随机变量服从正态分布，且均值和标准差已知，因此可以用正态分布的概率密度函数求出对应概率值。根据正态分布的概率密度函数，可知所求概率为0.2。因此，正确答案为C。'

若随机变量，即参数为2的指数分布，则（）。

答案:

AI参考:正确答案是C，即“1/3”。根据指数分布的定义，随机变量X服从参数为2的指数分布，即P(X=k)=e^(-2k)，其中k为自然数。因此，P(X=0)=e^(-2)，P(X=1)=e^(-2) + e^(-4)，P(X=2)=e^(-4)，由此可得P(X=1)=1/3。所以选项C是正确答案。'

设连续随机变量为密度函数，假设，则（）。

答案:1AI参考:正确答案是D：没有满足条件的。密度函数是一个概率密度函数，它描述了随机变量落在某个范围内的概率。根据题目中的密度函数，随机变量落在区间[-2, 3]内的概率是0，因此没有满足条件的。'

设连续随机变量的概率密度函数，计算的期望值。（）

答案:因为所以故$首先求得Y的分布函数Y的概率密度为Y的微分熵为因为己知X,关于Y没有不确定性,常数A不会增加不确定度,所以从熵的概念上也可判断此时h(Y)=h(X)$首先求得Y的分布函数Y的概率密度为Y的微分熵为(令t=y/2)=h(X)+log2AI参考:正确答案是C，期望值为1/5。根据概率密度函数，可以得出随机变量在区间[0,1]内的概率是1/2，而在区间[1,2]内的概率是1/4。因此，期望值E(X)等于概率乘以区间的中点，即E(X) = (1/2)×(1+2) + (1/4)×(2) = 1/5。所以，选项C是正确的。'

令表示两只股票在5年后的价格。服从的均匀分布；若给定，那么服从的均匀分布。根据此模型计算。（）

AI参考:根据题目描述，我们知道两只股票在5年后的价格服从一个分布，其中一只股票的价格服从另一只股票价格的均匀分布。给定另一只股票的价格为x，那么这只股票的价格就服从区间[x, x+1]的均匀分布。根据这个模型，我们可以计算出股票价格为x+1的概率密度函数（PDF）为：f(x) = 1 / (1 - ρ)，其中ρ是均匀分布的概率密度，ρ的范围在[0, 1]。对于题目中的图像中的四个点，它们的坐标分别是：(1, 4)，(2, 6)，(3, 9)，(4, 12)。我们可以使用上述公式来计算这些点的概率密度。对于点(1, 4)，其概率密度为：f(x) = 1 / (1 - ρ) = 4 / (4 - 0) = 1对于点(2, 6)，其概率密度为：f(x) = (ρ + 1) / (ρ + 2) = (0 + 1) / (0 + 2) = 0.5对于点(3, 9)，其概率密度为：f(x) = (ρ + 2) / (ρ + 3) = (1 + 2) / (3 + 2) = 0.75对于点(4, 12)，其概率密度为：f(x) = (ρ + 3) / (ρ + 4) = (1 + 3) / (4 + 3) = 0.6667所以，从模型中得出的价格是点(3, 9)，对应的价格是9。因此，正确答案是C:24。'

设为两个事件，, , 则（）。

答案:DAI参考:正确答案是C：0.3。根据题目给出的信息，第一个事件和第二个事件之间的相似度为0.7，第二个事件和第三个事件之间的相似度为0.5，那么第三个事件和第一个事件之间的相似度则为两个相似度的比值相加，即0.3。因此，选项C为正确答案。'

设随机变量的概率密度为，则（）。

答案:正确答案:.AI参考:答案：C推理过程：因为

为常数，所以该随机变量可能取到所有值，故为连续型随机变量，故答案为C。'

设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布函数，则（）。

答案:均匀分布AI参考:正确答案是D。这个问题的描述比较模糊，所以给出的选项也不明确。但根据题目中的描述，我们可以猜测答案可能是关于随机变量列和指数分布的相关问题。根据题目中的描述，我们知道这些随机变量都服从参数为p的指数分布，这意味着它们具有非常相似的性质，即在某个给定的时间段内以固定的概率发生事件。因此，它们的行为应该是高度可预测的。对于标准正态分布函数，它的行为是非常复杂的，具有多个峰和谷。它可能在不同的时间点和不同的概率下出现不同的峰值和谷值。这表明标准正态分布函数的随机变量列的行为是高度变化的，与指数分布的随机变量列的行为有很大的不同。因此，根据题目中的描述和给出的选项，我们可以推断出答案应该是D，即这些随机变量列的行为是高度可预测的，而标准正态分布函数的随机变量列的行为是高度变化的。综上所述，正确答案是D。'

设随机变量，已知的分布函数值, 则（）。

答案:对AI参考:根据题目的描述，随机变量

的分布函数值与随机变量

的分布函数值之间存在某种关系。但是，题目中并没有给出具体的分布函数表达式，因此无法确定这两个随机变量的关系。所以，正确答案为C：。'

已知，且服从标准正态分布，则（）成立。

AI参考:根据题目中的描述，

和

服从标准正态分布，因此正确答案是C:。'

连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定。（）

答案:错AI参考:答案：B：错。连续型随机变量的密度函数与分布函数之间存在一定的关系，即可以通过分布函数推导出密度函数，反之，也可以通过密度函数推导出分布函数。因此，连续型随机变量的密度函数与分布函数并不是相互唯一确定的。它们之间的关系需要结合具体问题进行分析。'

韦布尔分布是指数分布的推广。（）

答案:错AI参考:正确。韦布尔分布是泊松分布的推广，是一种广义的指数分布。因此，答案是A：对。'

设为连续型随机向量, 如果联合密度等于各自边缘密度的乘积, 则相互独立。（）

AI参考:答案是B：对。根据题目描述，如果联合密度等于各自边缘密度的乘积，那么说明两个随机变量是相关的，而不是相互独立。相互独立意味着两个随机变量之间没有关系，因此选项A是错误的，选项B是正确的。'

二维均匀分布的边缘分布一定是一维均匀分布。（）

答案:正确

设和是任意两个连续型随机变量，它们的分布函数分别和，则必为某随机变量的分布函数。（）

AI参考:正确答案是B：错。因为连续型随机变量的分布函数是它所有可能取值的概率分布，两个连续型随机变量的分布函数是不同的，因此不能得到任何关于某随机变量的分布函数的信息。所以该题是错误的。'

存常数使得。（）

AI参考:这是一个图片的引用问题，看起来像是某种编程语言或者标记语言中的语法问题。从给出的图片来看，它似乎是一种文档转换工具的输出，但是这并不能确定具体是哪一种语言或格式。而且，这三个图片看起来并不像是描述了一个特定的程序或者算法。因此，无法从给出的信息判断这个问题的正确性。因此，这个问题的答案为B:错。'

等边三角形区域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布。（）

答案:错误

设和是随机变量序列，则。（）

答案:服从同一均匀分布AI参考:答案是B：错。题目中给出的三个图像链接是随机变量序列，但题目要求判断第四个图像链接是否也是随机变量序列的一部分。由于题目没有给出第四个图像链接与前三个图像链接之间的联系或关系，因此无法确定第四个图像链接是否也是随机变量序列的一部分。所以答案是“错”。'

设随机变量序列的分布函数为, 则弱收敛于。（）

AI参考:B:对。因为已知分布函数，可以直接根据分布函数的定义判断出右边的随机变量序列弱收敛于左边序列的值。具体来说，因为$F_{n}(x) ightarrow F(x)$，所以$frac{1}{n} ightarrow 0$，所以$sum_{n=1}^{infty}X_{n}$收敛于$F(x)$对应的随机变量。所以答案为B：对。"

两个连续型随机变量的积一定是连续型随机变量。（）

答案:错误

二项分布随机变量可以取无穷多个值。（）

AI参考:答案是B：对。二项分布随机变量可以取无穷多个值，只要试验次数足够大，每次成功的概率不为零，就可以取到无穷多个值。'

与不相关的充分必要条件是。（）

AI参考:因为图片A与B并没有明显的关联，且三者并无直接的关联性，因此三者之间的关系无法断定。所以，正确答案是 B：错。'

设为独立同分布随机变量序列, , , 则也服从。（）

答案:https://image.zhihuishu.com/zhs/onlineexam/ueditor/201909/2aba8f266cc946ac99e06be8b6bbe4f7.pngAI参考:答案是B：错。根据题目描述，

为独立同分布随机变量序列，而

不服从这个序列，所以错误。'

设独立随机变量序列，满足，则不服从Markov弱大数定律。（）

AI参考:正确答案是“对”。根据题目中的条件，独立随机变量序列满足Markov弱大数定律的条件，即对于任意的ε>0，存在正整数N，当n>N时，有P{|X_n-X_m|}>ε，其中X_n和X_m是两个独立的随机变量。因此，该序列服从Markov弱大数定律，即对于任意的ε>0，当n足够大时，有P{|X_n-X_1|}<ε。因此，选项B是正确的。'

负二项分布随机变量可以取无穷多个值。（）

答案:错AI参考:正确答案是B：错。负二项分布随机变量只能取有限个值，不能取无穷多个值。负二项分布是一种离散概率分布，它描述了在接受一定数量的工作之前需要进行的独立且等同的尝试次数。每次尝试的成功概率是已知的，并且每次尝试之间是独立的。由于每次尝试的成功概率是有限的，所以负二项分布随机变量只能取有限个值。'