概率论与数理统计期末考试答案2023春

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概率论与数理统计

1. 设随机变量 的方差存在且不为零，， 其中 为常数，且 ， 则 （ ）。

A:1 B:0 C:-1 D:
AI参考:从给出的式子可以看出，变量y是一个由常数项a、随机变量x、和变量z三个因素构成的函数，它的值随x和z的变化而变化。方差是对变量取值的离散程度的一种度量，其公式为：方差 = ∑(每个取值-均值)² / 样本个数。在这个问题中，已知随机变量x的方差存在且不为零，而常数项a是固定的，因此y的方差也是存在的且不为零。对于选项中的四个数，只有常数项a与方差有关，且只有a为负时，方差才为零，因此答案是C：-1。'

2. 设 是两个事件，若 ，则（ ）。

A: 互不相容 B: 是不可能事件 C:或 D: 未必是不可能事件
AI参考:正确答案是D，必然是可能性事件，但是答案不严谨。考虑到上下文关系，本题考察的是可能性和不可能性的概念。因此，D选项"未必是不可能事件"更加贴切。首先，"互不相容"指的是两个事件之间没有交集，但在这里，两个事件似乎是相互关联的，因为它们都与图片相关。其次，"不可能事件"通常指的是那些几乎不可能发生的事件，比如彩票中奖、天气预报错误等。但是在这个问题中，两个事件似乎并不完全符合这种定义。因此，正确答案是D选项"未必是不可能事件"，这个选项更符合上下文关系。'

3. 设随机变量 的方差存在，则（ ）。

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是【C: ”。】。题干中给出的随机变量方差存在，因此答案为C。'

4. 设 是总体 的样本， 和 分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）。

A: B: C: D:
答案:http://p.ananas.chaoxing.com/star3/origin/56412acef4efe5b96ee101e7248af3c6.pngAI参考:正确答案是D，即样本的标准差比总体标准差小。这是因为样本是总体的一部分，而样本的平均值接近于总体均值，样本标准差则是围绕总体标准差的波动。因此，样本的标准差通常会小于总体标准差。所以，选项D是正确的。'

5. 设二维随机变量 () 服从二维正态分布 ，则（ ）。

A: 不服从正态分布 B: 服从分布 C: 服从正态分布 D: 服从分布
答案:1,5,0.5AI参考:正确选项：【B】服从分布。二维正态分布是一种连续概率分布，表示二维随机变量在二维空间中具有正态分布的概率分布特性。根据题干中的图像，该二维随机变量服从二维正态分布，因此选项B是正确的。选项A、C、D都不正确。'

6. 设总体 的概率分布为 ， 其中 是未知参数，从总体 中抽取容量为 8 的一组样本，其样本值为 3,1,3,0,3,1,2,3， 参数 的矩估计值为（ ）。

A:1/8 B:1/3 C:1/2 D:1/4
答案:https://p.ananas.chaoxing.com/star3/origin/bf6eda826d0284e120fe2befc45e087f.pngAI参考:样本均值是一个无偏估计量，它可以用于参数的矩估计。根据样本值3,1,3,0,3,1,2,3，可以计算出样本均值 = (3+1+3+0+3+1+2+3)/8 = 2。矩估计量是基于样本数据的统计量，因此，未知参数的矩估计值应该是样本均值的各阶矩。对于样本均值，其一阶矩为平均值 = (3+1+3)/3 = 2，其二阶矩为平均平方差 = (1-2-2+3+2)/8 = 0。在题目所给总体概率分布中，已知第二阶矩为0，所以根据矩估计量应该是第二阶矩的估计值为0，也就是所有数值在总体中的均匀分布，而总体均值为平均数的函数形式未定。因为只有一个参数，均匀分布的条件表明其所有值都有等可能性。根据所给样本数据计算出来的总体均值= 4/4 × 8=2 (所有数值的等可能性)。因此答案为D：1/4。'

7. 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 = （ ）

A: B: C: D:
答案:一对同源染色体群上出现的交换次数;染色体异常的胎儿;田间某种杂草的数量AI参考:正确答案是C：泊松分布的期望（均值）为λ，所以的期望为×λ，因此=λ。希望这个答案对你有所帮助！'

8. 设 ，则随着 的增大，概率 的值（ ）。

A:增减不定 B:单调减少 C:保持不变 D:单调增大
答案:保持不变AI参考:答案：D：单调增大。随着第二个图像的增大，概率的值会单调增大。因为第一个图像表示的是概率的分布情况，随着第二个图像的增大，概率的取值范围也在增大，所以概率的值会随着第二个图像的增大而增大。因此，答案为D：单调增大。'

9. 设 的相关系数 , 则（ ）。

A:存在常数 使得 B: 与 相互独立 C:存在常数 使得 D: 与 必不相关
AI参考:正确答案是【C:存在常数 使得 】。因为两个变量的相关系数小于1，所以存在常数使得两个变量之间的关系可以表示为“不相关”或“弱相关”。在这个问题中，两个图像的相关系数为负数，因此它们之间存在一定的负相关关系。但是，由于相关系数小于1，我们可以认为它们之间存在一定的关系，但这种关系并不强烈。因此，选项C“存在常数使得”是正确的答案。选项A和D都是错误的，因为相关系数小于1并不意味着两个变量之间存在必然的联系或不存在联系。选项B也是错误的，因为相关系数小于1并不意味着两个变量之间相互独立。'

10. 设随机变量 与 d独立且均服从 上的均匀分布，则 （ ）。

A: B: C: D:
答案:错AI参考:正确答案是C：与独立，且服从参数为（a，b）的二项分布。根据题目描述，随机变量X和Y独立且均服从参数为（a，b）的均匀分布，则可以推断出第三个随机变量Z的取值符合二项分布，其中二项分布的特点是与X和Y无关，所以正确答案为C。选项A和B都不是正确答案，选项D不符合题意。'

11. 设 是来自总体 的一个样本，，则可以作为 的无偏估计量的是（ ）。

A:当 为已知时， B:当 为未知时， C:当 为未知时， D:当 为已知时，
答案:√AI参考:正确答案是D选项：“当 为已知时， ” 。这是一个关于估计量的无偏性（Euler-Cauchy无偏性）的问题。要成为一个无偏估计量，必须满足以下条件：如果E代表期望，即E[h(x)]应该等于被估计的值h(θ)。然而在题目给出的上下文中，这个估计量在被观测前，相关值都是未知的，因此B和C选项都与这个条件不符。同时，A选项表示在知道总体值的情况下使用样本，这在逻辑上是有问题的，因为样本本身是来自总体的。因此，正确的选项应该是D，即当为已知时。这符合Euler-Cauchy无偏性的要求。'

12. 设 的方差存在，且不等于 0， 则 是 （ ）。

A:不相关的充分条件，但不是必要条件 B:独立的充分必要条件 C:独立的必要条件，但不是充分条件 D:不相关的必要条件，但不是充分条件
AI参考:答案：B推理过程：由题可知，两随机变量独立时，其方差也独立；反之，两随机变量方差不独立时，其也不独立。因此，前者是后者的充分必要条件。故选B。'

13. 已知 服从二维正态分布，且 ，若 与 独立，则 （ ）。

A:-2 B:-4 C:2 D:4
AI参考:单选题已知服从二维正态分布，且，若与独立，则（ ）。A:-2 B:-4 C:2 D:4正确答案是 D:4。根据正态分布的性质，两个独立的正态分布变量相加仍服从正态分布，且方差保持不变。因此，与的均值和方差均不变，即原正态分布的均值仍为-2，方差仍为4。所以，新分布的均值应为-2+4=2，方差仍为4。因此，选项C不正确，选项D为正确答案。'

14. 设随机变量 取非负整数值，，且 ，则 的值为（ ）。

A: B: C: D:1/5
AI参考:从给出的公式中，我们可以看到变量`x`是非负整数，且其概率分布函数为指数分布。另外，从题目描述中我们了解到`x`服从泊松分布。因为`y = 5/4 * x^2`是一个幂函数，它可以视为x的一个概率密度函数，并且当x服从泊松分布时，其概率密度函数通常以指数分布的形式给出。基于这些信息，我们可以推断出`y`的值应该是服从泊松分布的变量`x`的期望值（即均值）。对于泊松分布，其期望值可以通过公式`E(x) = λ`来计算，其中λ是泊松分布的参数。由于题目中给出的公式没有给出λ的值，所以我们需要对其他变量进行分析以推导出λ的值。然而由于缺乏具体的信息，我们无法给出准确的答案。在选项中，只有C是符合常数的选项，所以可以选C作为答案。但需要注意的是，这只是一种基于已知信息的推测，实际的答案可能会有所不同，取决于未给出的具体参数值。因此，正确答案是C。'

15. 随机变量 服从 上的均匀分布，则 =（ ）。

A:1/4 B:0 C:1 D:1/2
AI参考:正确答案是D，即=1/2。根据题目中的随机变量服从均匀分布，可以得到随机变量取值的概率分布是均匀的，即在区间[a, b]内的任一值出现的概率相等。因此，可以得出结论，区间长度的一半就是随机变量取到该区间的概率。即=区间长度的一半，即/2=1/2。因此，正确答案是D。'

16. 设 是来自正态总体 的一个样本,则下列统计量中，服从自由度为 的 分布的是（ ）。

A: B: C: D:
答案:对AI参考:正确答案是D：正态分布的概率密度函数服从自由度为n的χ²分布。根据题意，样本来自正态总体，则统计量服从自由度为n的χ²分布。因此，答案为D。需要注意的是，这里的自由度n应该等于样本容量，即样本中包含的独立观测值的个数。在本题中，样本中包含的独立观测值个数为两个，因此自由度为2。因此，正确答案为D选项，即χ²分布，自由度为2。'

17. 设 相互独立，都服从区间 [0,1] 上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的是（ ）。

A: B: C: D:
答案:(X,Y)

18. 设 为标准正态分布的概率密度， 为 [-2,2] 上的均匀分布的概率密度，若 ， 为概率密度，则 应满足（ ）。

A: B: C: D:
答案:2a+b=2AI参考:正确答案是C。根据题意，标准正态分布的概率密度函数为：f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp(- (x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。[-2,2]上的均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1/2，-2 <= x <= 2。若为概率密度，那么应满足其为∫_{-2}^{2} f(x) dx的值。因此∫_{-2}^{2} ∫{https://image.zhihuishu.com/zhs/question-import/formula/202211/c26650f159e1493f8fd3af0d4b040908.png} dx dx 的结果等于f(x)dx = f(x) ∫{-2}^{x} dx的值，即∫{-2}^{x} f(x) dx = f(x) (x-(-2)) = f(x)(x+2)。因此，答案为C。'

19. 设总体 的数学期望为 ， 是来自 的样本，则下列结论中正确的是（ ）。

A: 是 的无偏估计量 B: 不是 的估计量 C: 是 的极大似然估计量 D: 是 的一致（相合）估计量
AI参考:正确答案是D：是 的一致（相合）估计量。根据题意，样本是来自总体$X$的样本，数学期望为$mu$，即$mu = E(X)$。因此，根据大数定律和中心极限定理，当样本量$n$足够大时，样本$X$近似服从正态分布，因此一致估计量应当符合正态分布，只有选项D满足该条件。因此，正确答案为D：是 的一致（相合）估计量。A、B、C选项中都存在不确定性，因为无法从题目中确定具体的要求和条件。'

20. 设 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 ，则 的数学期望为（ ）。

A: B: C: D:
答案:1-Φ(-0.45)AI参考:正确答案是D：因为已知随机变量服从参数为的泊松分布，根据泊松分布数学期望公式，E(X)=λ，所以E()=。故答案为D。'

21. 设 是来自正态总体 的简单随机样本，，则下列选项正确的是（ ）。

A: B: C: D:
答案:正确AI参考:正确答案是D：根据正态分布的性质，样本均值和样本方差都服从正态分布，所以选项D正确。正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数具有两个重要特性：平均数等于中位数，标准差等于面积1/3。因此，正态分布的概率密度函数可以用一个标准正态分布函数来近似表示。在样本空间中，样本均值和样本方差都服从正态分布。因此，选项D是正确的。'

22. 设连续型随机变量 的分布函数为 则 的数学期望为（ ）。

A:2 B:8/3 C:0 D:4/3
答案:https://p.ananas.chaoxing.com/star3/origin/9aac50f9a212fcaa01c67b1fca2a02f6.pngAI参考:从分布函数可以看出，这是一个二项分布的随机变量，其中参数为n=3，p=2/3。对于二项分布，其期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = np = 3*2/3 = 2。因此，正确答案是A：2。'

23. 随机变量 的分布律为 ，则 取0的概率为{1/2 }， 取3的概率为（ ）。

A:4/5 B:3/10 C:1/2 D:1/5
AI参考:正确答案是D，1/5。根据给出的分布律，P(X=0)=1/2，P(X=3)=P(X=4)+P(X=5)=P(X=4)+P(X=6)。因此，P(X=3)=P(X=4)+P(X=6)=1/2+P(X=6)，所以P(X=3)=1/5。因此，正确答案是D，即取3的概率为1/5。'

24. 设 是总体 的样本，则（ ）可以作为 的无偏估计量。

A: B: C: D:
答案:√AI参考:正确答案是D：样本均值。根据题意， 是总体 的样本，则样本均值可以作为 的无偏估计量。样本均值是对样本数据的平均值，可以反映总体的平均水平。'

25. 设二维随机变量的联合分布律为，则= （ ）

A:3/8 B:5/8 C:4/13 D:9/13
答案:0.63D.0.45

26. 设 是两个随机事件，随机变量 ，已知 与 不相关，则（ ）。

A: 与 不一定独立 B: 与 一定独立 C: 与 一定不独立 D: 与 不一定独立
AI参考:答案：D：与不一定独立根据题干中给出的信息，随机变量X与Y不相关，但不能确定它们之间是否独立。不相关只是说明两个变量之间没有线性关系，但它们之间的依赖关系不确定，因此答案为D：与不一定独立。'

27. 设 三个事件两两独立，则 相互独立的充分必要条件是（ ）。

A: 与 独立 B:与 相互独立 C: 与 独立 D: 与 独立
答案:与相互独立

28. 若随机变量 满足 , 且 ， 则必有（ ）。

A: B: 独立 C: 不相关 D:
答案:与不相关.AI参考:正确答案是【D】。根据题干中的两个随机变量之间的关系式，可以得出它们之间没有必然的联系，因此它们是独立的。但是，它们之间也没有必然的不相关性，因此选项C不正确。因此，正确答案为D。解释：* 独立：两个随机变量之间没有必然的联系，即一个随机变量的变化不会影响另一个随机变量的变化。* 不相关：两个随机变量之间存在一定的线性关系，但这种关系不是必然的，即一个随机变量的变化会影响另一个随机变量的变化，但这种影响不是绝对的。因此，根据题干中的关系式，可以得出这两个随机变量是独立的，但它们之间没有必然的不相关性。因此，答案为D。'

29. 将红、黄、蓝3个球随机放入4个盒子，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球的概率是（ ）。

A:3/64 B:3/8 C:3/4 D:1/64
答案:0.375AI参考:正确答案是D：1/64。这道题的关键是要弄清楚红、黄、蓝3个球中，至少有一个球会被放进了三个不同的盒子中的每个盒子，这种情况有几种可能。按照给定的概率模型，这种情况的概率可以通过给定事件出现的次数除以所有可能情况的总数来得到。因此，为了找到正确答案，我们需要考虑所有可能情况的总数，并计算满足条件的情况的数量。首先，考虑所有可能情况的总数。由于每个盒子可以放入任意数量的球，所以总的可能情况数为4^3=64种。接下来，考虑满足条件的情况的数量。根据题目要求，至少有一个球会被放入三个不同的盒子中的每个盒子。这意味着至少有三个球被放入三个不同的盒子中。由于球的颜色是随机的，所以这三种颜色中的每一种球都有可能被放入这三个盒子中的每个盒子。因此，满足条件的情况的数量为C(3,3)×3^3=3×3^3=27种。因此，根据题目要求，三个盒子各放一个球的概率是满足条件的情况的数量除以总的可能情况的数量，即27/64=1/64。所以正确答案是D：1/64。'

30. 已知随即便 服从参数为 2 的泊松分布，则（ ）。

A: ， B: ， C: ， D: ，
答案:ananas/latex/p/632022AI参考:正确答案是C：服从参数为2的泊松分布，说明该事件发生的概率与次数有关，每次发生的概率都是一样的，而与时间无关。因此，在一段时间内，该事件发生的次数符合泊松分布，而选项C符合这个描述。'

31. 设 为两事件，则 0.8。（ ）

A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。根据题目描述，给出三个图片的链接，要求判断第三个图片的大小。但问题中缺少了描述第三个图片的信息，无法确定其大小。因此，答案为B，错误。'

32. 设随机变量 服从 ， 则 服从的分布为。（ ）

A:对 B:错
AI参考:正确答案是B：错。根据题目描述，随机变量X服从正态分布，其期望值为μ，标准差为σ。而随机变量Y服从的分布与X无关，因此无法确定Y服从的分布。因此，本题错误。'

33. 设随机变量 ， =68。（ ）

A:错 B:对
AI参考:这个问题的答案为“对”。根据给出的公式，随机变量之和为68，这是一个确定的值，因此判断是正确的。没有需要进行任何分析。'

34. 二维随机变量 服从正态分布，且 与 的相关系数 ， 则当 2时， 与 相互独立。（ ）

A:错 B:对
AI参考:正确答案是B：对。根据正态分布的性质，两个随机变量之间的相关系数为0，则它们相互独立。因此，当相关系数ρ<0时，两个随机变量相互独立。因此，当ρ<−2时，可以得出答案B：对。题干中提到相关系数为ρ<−2，即相关系数满足条件。因此，当相关系数满足条件时，可以得出答案为对。希望这可以帮助你理解相关概念。'

35. 设随机变量 。（ ）

A:对 B:错
AI参考:答案：B：错。题目描述了一个随机变量的图像，但并没有给出具体的数学表达式或定义，因此无法判断是否正确。此外，题目中也没有给出任何分析或解释，因此无法通过分析来得出正确答案。因此，该题为错题。'

36. 设随机变量 ， 则 N(1,16)。（ ）

A:错 B:对
AI参考:正确答案是B，对。根据题意，随机变量服从正态分布N(1, 16)，即其平均值为1，标准差为4，是一个对称分布。所以，题目中的图片公式是正确的，答案为B。'

37. 设 是两个事件，， 则 =0.54。（ ）

A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。根据题目描述，给出的三个图片链接是关于数学公式的图片，但是问题中给出的等式不完整，无法判断等式的正确性。因此，无法确定答案为对或错。需要更多的信息或者更完整的等式才能进行判断。'

38. 设事件 两两独立，且 ，且已知 ， 则 1/4。（ ）

A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。根据题目所给条件，事件A、B、C两两独立，且已知A发生时B、C发生的概率，需要求出A不发生时B、C发生的概率。题目中的判断是错误的，因为缺少必要的信息来计算这个概率。需要知道更多的事件关系和概率信息才能得出正确的答案。'

39. 已知随机变量 ， 在 区间 上服从均匀分布，如果 , 则 与 的相关系数 =1/2。（ ）

A:错 B:对
答案:2/3AI参考:答案是B：对。根据题意，随机变量x和y在区间[-a,b]上服从均匀分布，所以它们的相关系数ρ满足-1≤ρ≤1。根据相关系数的定义，ρ=cov(x,y)/(σxσy)，其中cov(x,y)表示x和y的协方差，σx和σy分别表示x和y的标准差。对于给定的题目中的公式，相关系数ρ的值为ρ=(b-a)/√(a^2+b^2)。由题目给出的公式可知，相关系数ρ=1/2，因此答案为B。'

40. 离散型随机变量 的分布律为 则随机变量 取0的概率为 1/3。（ ）

A:错 B:对
答案:√AI参考:正确，根据给出的离散型随机变量的分布律，随机变量取0的概率为1/3。'

41. 设在20件衬衣中有15件一等品，5件二等品。现在随意从中取2件，已知其中至少有一件是一等品，试求两件都是一等品的条件概率。


AI参考:正确选项：0.6 根据题意，两件都是一等品的条件概率为 P(两件都是一等品) = (一等品数量 / 总件数) × (取到一等品的方案数 / 总方案数)。 已知衬衣总数为20件，其中一等品数量为15件，二等品数量为5件。从这些衬衣中随意取出两件，总方案数为C(2, 20)。 由于已知其中至少有一件是一等品，所以取到一等品的方案数为C(2, 15)。 因此，两件都是一等品的条件概率为： P(两件都是一等品) = (C(2, 15) / C(2, 20)) = 0.6。"

42. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
    


答案:3AI参考:很抱歉，您没有提供完整的问题和背景信息，因此我无法回答您。请提供更多关于您所面临问题的详细信息，以便我更好地帮助您。"

43. 某车间生产钢丝，用 X 表示钢丝的折断力，由经验知道 ，其中 ，现在换了一批材料生产钢丝，如果仍有 ,现抽得10根钢丝，测得其折断力（单位:N）为
    578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
    试问折断力有无明显变化（）?


AI参考:根据题目给出的数据，平均折断力为574N。根据提供的公式，计算得到的变异性为6N（标准差），这是一个相对较高的数值。如果我们需要判断折断力的变化是否显著，通常需要比较这个变异性或者变化范围与预期或者正常范围。在实际应用中，这可能需要依赖于具体的标准和公司的政策。 然而，就你给出的数据，我们可以说折断力的变化是明显的。在统计学中，如果一个变量的变化超过了正常范围，我们通常会认为这个变化是显著的。因此，可以得出结论，这批新材料的钢丝的折断力有明显变化。"

44. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？


答案:0.9544

45. 设总体的分布密度为
    
    其中 ,求 的极大似然估计量。


答案:AI参考:根据所给的信息，总体分布密度函数为f(x;θ)，其中θ为未知参数。给定样本数据x₁，x₂，...，xₙ，极大似然估计量可以通过以下步骤得到： 1. 计算样本数据的似然函数L(θ)，即样本数据符合总体分布的概率。 2. 求似然函数的最大值点，即求对数似然函数的极大值点。 3. 将最大值点对应的参数值θ作为极大似然估计量。 对于给定的分布密度函数f(x;θ)，似然函数L(θ)可以表示为L(θ) = P(x₁, x₂, ..., xₙ∣θ)。由于总体分布密度函数的形式未知，我们无法直接计算似然函数。但是，根据题目所给的信息，似然函数的形式可以猜测为L(θ) ∝ e^(−θ∑xi)，其中∑xi表示样本数据x₁，x₂，...，xₙ的总和。 对于极大似然估计量，我们可以利用数值方法（例如牛顿-拉夫森方法、拟牛顿法等）来找到最大值点。在这个问题中，最大值点对应的参数值θ就是极大似然估计量。 需要注意的是，以上推理是基于题目所给的信息和一般统计学的原理，具体实现还需要根据实际情况进行计算和编程。"