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线性代数（嘉兴学院）期末考试答案2023春

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线性代数（嘉兴学院）

非齐次线性方程组的相应齐次线性方程组只有零解，则方程组有唯一解。（）

答案:错误AI参考:正确答案是B：错。非齐次线性方程组有唯一解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，如果只有零解，说明系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，此时方程组不一定有唯一解。所以该题为错误选项。'

设矩阵A, B, C满足AB=AC，且，则必有B=C。（）

答案:错

若A与B相似，且，则P是唯一的。（）

AI参考:B:对。根据相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么对应顶点所在的直线一定平行。因此，选项A中的“P是唯一的”是错误的。同时，这个问题的陈述也并未明确指出多边形的形状，所以可能存在多个顶点都在对应的直线上，此时就不止一个P了。所以答案为B。'

若A与B有相同的特征值，则A与B相似。（）

答案:错误

若向量组线性相关，则中至少有两个向量对应的分量成比例。（）

答案:√AI参考:正确答案是B：对。根据向量组的线性相关性，如果向量组线性相关，那么其中任意两个向量都线性相关。因此，如果向量组线性相关，那么至少有两个向量对应的分量成比例。所以，这个判断题是正确的。'

设是3阶方阵A的列向量组，且齐次线性方程组只有零解，则（）

AI参考:正确选项：C:可由线性表示已知矩阵A的列向量组中包含了该线性方程组的解向量，根据矩阵的列向量组与线性方程组解之间的关系，可知该列向量组可由该线性方程组中的解向量线性表示。因此，选项C“可由线性表示”是正确的。选项A、B、D都是错误的，因为根据题意无法得出它们是正确的结论。'

设,是中元素的代数余子式，则（）

AI参考:正确选项是B：由于给出的三个图像是代数余子式，它们的组合将形成整个矩阵。而这个矩阵中元素值可能的组合有2种，一种是1、-1、0和它的倒数；另一种是0、-1、-1和它的倒数。观察给出的三个图像，可以看出第一行的第一列的元素值只能是1，且其他的元素值必须是它的相反数，这样组合在一起后只有B选项符合条件。因此，正确答案是B。'

二次型的秩为2，则（）

答案:-3AI参考:答案：D。由二次型的秩为2，可得矩阵的秩为2，说明矩阵中最多只有2个线性无关的列向量，根据矩阵的行列式|A|=-4知D正确。故本题选D。'

设A是阶矩阵，，下列结论中不正确的是（）

AI参考:在给出错误答案之前，首先明确以下结论：对于矩阵A，行向量组和列向量组都是向量空间的基本元素。行向量组的线性相关性与其维数有关，而列向量组的线性相关性与其向量个数有关。根据给出的选项，选项A声称A的5个行向量必线性相关。由于矩阵A的行数为5，如果这5个行向量线性相关，那么这是正确的。选项B提到A的3个列向量必线性无关。如果3个向量线性无关，那么这是正确的，因为矩阵A的列向量个数为3。选项C声称A的任意3个行向量必线性无关。由于矩阵A的行数为5，所以任意3个行向量可以构成一个向量组，如果这个向量组线性无关，那么这是正确的。然而，选项D指出A的行向量中必有3个行向量是线性无关的。这是一个可能存在的情况，但并不是一定存在的。在实际情况中，由于矩阵A的行数可能大于列数（在本题中为2），因此有可能存在无法满足此条件的矩阵。也就是说，存在可能的情况是所有行向量都线性相关，但仍可能有其他方式将矩阵A的行向量组分为线性无关的子组。综上所述，选项D是不正确的。所以正确答案是D:A的行向量中必有3个行向量是线性无关的。'

已知是线性方程组的三个特解，则下列也是的解的是（）

AI参考:根据题目中的描述，已知线性方程组

的三个特解分别是图像中的A、B、C三个选项。我们需要找出另一个也是该线性方程组的解的选项。根据线性方程组的性质，任何线性组合都等于系数乘以特解加上常数项。因此，我们可以将题目中的特解代入其他选项中，看是否满足线性方程组的系数和常数项。选项D满足线性方程组的系数和常数项，因此它是该线性方程组的解。因此，正确答案是D。'

下列命题正确的是（）

AI参考:正确答案是C:m个n维（m > n）向量组成的向量组的秩不可能大于n。解释如下：A.相互等价的两个向量组中向量的个数可以相同也可以不同，例如在基础解系和极大无关组之间，一个有n个向量，一个有n+1个向量，但是它们等价。B.给定向量组的极大无关组可以是唯一的，也可以是唯一的，但也可以不唯一。例如，对于一个线性无关的向量组，加上一个任意向量就可以得到极大无关组。C.正确。向量组的秩是它所有线性无关的子组的个数，所以m个n维向量组成的向量组的秩不可能大于n。D.不是任一向量组都含极大无关组，只有一组线性无关的向量才含极大无关组。因此选项D错误。所以，答案为C。'

设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（）

答案:

设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）

答案:

设是不可逆矩阵，则（）

AI参考:选项C:0。因为矩阵是一个二维数组，矩阵中的元素是以行和列的方式排列的。当给出两个图片链接时，如果矩阵是可逆的，那么元素之间的关系就会遵循某种规则，使得这两个图片之间有某种相关性。在这个情况下，给出的两个图片是同一矩阵中的两个元素，所以它们的值应该有一定的规律。然而，由于矩阵是不可逆的，因此两个元素之间没有直接的关系，它们的值可能是随机的或者不确定的。所以选项C：0是正确答案。'

设向量是矩阵的特征向量，则（）

答案:4AI参考:正确答案是【C】-4。根据特征向量的定义，矩阵的特征向量与特征值对应，因此可以得出答案为-4。'

设矩阵A与B相似，则（）

AI参考:正确选项是D:A与B都相似于同一个对角矩阵。根据矩阵相似的定义，矩阵A与B相似，意味着存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，即矩阵A经过矩阵P的变换后变成了矩阵B，且这两个矩阵的特征值相同。因此，选项D是正确的，即A与B都相似于同一个对角矩阵。选项A、B、C都不符合矩阵相似的定义。选项A中，特征值和特征向量只是矩阵相似的一部分性质，不能作为充分必要条件；选项B中，虽然常数t可以变换成不同的矩阵，但是只要相似，它们的特征值一定是相同的；选项C中，两个矩阵的逆矩阵与它们是否相似没有直接关系。'

如果，则（）

AI参考:图片的位置相对改变，选择选项C：-1。这是因为宽度值是一个整数，因此当两个图片宽度和高度相等时，相对位置会按照他们的位置和尺寸变化。如果两个图片宽度不同，则位置也会有所不同。在这种情况下，第二个图片比第一个图片宽19px，高度相同，因此相对于第一个图片向右移动了19px的位置。由于我们正在谈论的是负数的位置，所以位置变化会减去图片宽度。在这种情况下，它从原来的位置向左边移动了-1的位置。所以，正确的答案是选项C：-1。'

二次型的矩阵A为（）

AI参考:正确选项为A，二次型的矩阵表示形式为A= 0 1 21 3 42 4 6。这是因为二次型的矩阵是对称矩阵，并且它的秩决定了二次型的类型。在此矩阵中，主对角线上的元素之和为5（即0+3+4=5），副对角线上的元素之和为6（即2+4=6），这意味着二次型是正定二次型，也就是说，它代表的是一个正定矩阵。因此，正确选项为A。'

两个n阶矩阵A，B合同的充要条件是（）

AI参考:答案是C:A与B有相同的秩及正惯性指数。因为矩阵合同有相同的秩及正惯性指数，而相似的矩阵一定合同，因此答案为C。而矩阵可对角化与矩阵合同没有直接关系，因此选项B不正确。矩阵的特征值和特征向量与矩阵是否合同也没有直接关系，因此选项D也不正确。'

已知是线性方程组的解，是的解，则下列哪一个也是方程组的解（）

AI参考:正确选项是“C:”。根据题干中的信息，我们可以看出这三个图像都与线性方程组有关。第一个图像表示一个线性方程组的解，第二个图像表示另一个线性方程组的解，而第三个图像则表示与前两个图像相同的线性方程组的解。因此，正确选项应该是与前两个图像都相同的解，即C选项。'

若向量，则（）

AI参考:正确选项是C：4。根据题目中的向量图，可以得出两个向量的夹角为90度，因此它们的数量积为0。而两个向量的模长分别为3和4，所以它们的乘积为4。因此，正确答案为4。'

设向量，则当正交时( )

AI参考:从题目描述中，我们无法得知向量之间的关系，也无法得知具体数值。因此，无法选择一个具体的答案。由于题目中没有给出足够的分析或信息，无法进行推理或计算。因此，无法给出正确答案。请注意，题目中的图片可能存在一些格式问题，建议检查图片的格式和编码是否正确，以确保图片能够正确显示。'

若，则（）

答案:

若二次型是正定二次型，则的取值范围是（）

答案:

设为同阶方阵，若由能推出，则应满足下列条件中的（）

AI参考:正确选项是C: 。根据题目描述，

为同阶方阵，而由

能推出

，因此可以推断出，

和

是同阶方阵，即它们的行列式相等。因此，

应满足的条件是行列式与另一个方阵相等。所以选项C是正确的。'

若n阶矩阵A的特征值则下列结论错误的是（）

答案:A的n个行盖尔圆构成的并集中;A的n个列盖尔圆构成的并集中;A的n个行盖尔圆构成的并集与n个列盖尔圆构成的并集的交集中AI参考:正确答案是D。矩阵的特征值决定了矩阵的许多性质，而题干中已经说明了矩阵A的特征值小于一个常数，那么可以得出矩阵A的行列式一定是正数，矩阵A的秩一定大于等于1。但并不能确定矩阵A是否是方阵，因此选项D错误。'

设3阶实对称矩阵A的特征值为4,-1,-2,则二次型的规范形为（）

答案:2AI参考:答案：C推理过程：因为A的特征值为4，-1，-2，所以A的属于特征值-1，-2的特征向量是相互正交的，设为α1，α2，所以f的规范形为uα1+vα2，其中u，v为任意实数。故选C。'

设三阶方阵A的特征值为1，2，3，则（）

答案:48AI参考:正确选项是【B:24】。根据特征值的性质，三阶方阵A的特征值为1，2，3，那么它的二次特征值一定是2^2=4，三次特征值一定是3^2=9。又因为A可对角化，所以它的二次特征值和三次特征值对应的特征向量一定是两两正交的。所以24一定是二阶子式(特征值4对应的特征向量)和三阶子式(特征值9对应的特征向量)的乘积。故选B。'

若，则的值为( )

AI参考:正确选项是“C:4”。题目中给出了两个图片的src地址和宽度、高度，需要求出第二个图片的宽度和高度之和与第一个图片的宽度和高度之和的差值。根据题目给出的信息，第一个图片的宽度为79px，高度为43px；第二个图片的宽度为87px，高度为62px。因此，第二个图片的宽度和高度之和为87+62=149px，第一个图片的宽度和高度之和为79+43=122px。两者之差为149-122=27px，所以选项C“4”是正确答案。'