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近世代数基础期末考试答案2023春

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近世代数基础

集合关于方阵的普通加法与乘法构成环，则这个矩阵环是（） .

答案:有单位元的交换环

设是一个环，则下面结论不正确的有（）.

答案:收敛AI参考:正确答案是D：对，的负元不唯一。根据题目描述，

是一个环，所以它是一个环的元素。对于一个环的元素，它的负元和正元都是唯一的，因此选项D不正确。其他选项中的条件和结论都是正确的。'

在整环中，下面哪一个元素是素元（）.

答案:;;AI参考:在给出的上下文中，这个题目描述了一个在HTML中的图像元素。因此，应该考虑的元素是图像相关的元素，如。而选项B：7，C：和D：都与图像元素无关，因此它们不符合题目要求。选项A：在HTML中，元素通常用于插入图像，而它本身并不表示素元。所以，正确答案是元素。因此，正确选项是【单选题】在整环中，哪一个元素是素元（）。答案：A: 元素。'

对于有限群中的任何元素，有=（）.

答案:正确答案:√AI参考:答案为B。对于有限群中的任何元素，都有其阶。阶是该元素在群中的次数或重复次数。在此题中，根据题目中给出的图片，可以看出该元素是一个字符，且被重复了三次，因此该元素的阶为3。另外，从题目中给出的选项中可以看出，只有B选项中的符号和大小与题目中的图片相匹配，因此答案为B。其他选项中的符号和大小都与图片不符。'

设，那么，在中可以与交换的所有元素有( )

答案:(1)(123)(132)

AI参考:正确答案是【D:8】。图片的宽度为8个像素，高度为24个像素。因此，图片的宽度是高度的一半，所以答案为D:8。'

循环群 $（{Z}_{9}，+）$ 的生成元的个数为（）.

AI参考:正确选项是“C:3”。根据题目描述，给出的循环群是Z9+，即Z9的加法群。在Z9中，有三个不同的素数因子：3、3和9。循环群的生成元必须是群中的元素，并且可以表示为群中其他元素的乘积。在Z9中，只有3是唯一的素数因子，因此生成元的个数为3。因此，答案为C。'

令为6阶循环群，那么G的自同构群的元素个数为（）.

AI参考:正确答案是C：36。根据题目条件，该循环群阶数为6，所以其自同构群元素个数为6的阶数阶乘，即6×5×4×...×2×1=36。因此，正确选项为C。'

剩余类环的零因子个数为（）.

AI参考:正确答案是D:2个。在剩余类环中，一个因子可以通过分解而成为一个余数乘以该模数运算。在这种情况下，除了剩余的余数和原来的数字外，只有一个剩余因子可以用于进行余数乘以模数运算，而余数不能再次使用，所以选项D为剩余类环的零因子个数。选项A和B错误，因为每个因子都是唯一的，所以没有零因子。选项C错误，因为除了零因子和原来的数字外，没有其他剩余因子可用于余数乘以模数运算。因此，答案是D。'

群的阶数为（）.

AI参考:答案：D解析：解析图片的格式可知其包含像素数量，从而计算其大小（D对）与宽度和高度无关。该图片的像素数量为 276*176，所以其大小为 48768字节，即约4.7KB，故其阶数为2。注：阶数是指一个矩阵的大小，与矩阵的行数和列数有关。图片像素越多，图片越大，其阶数越高。此处选择图片的大小作为衡量其阶数的标准，与题干中提到的“分析”无关。'

设是三个置换，其中，
则（）.

AI参考:正确选项是B：

和

使用了同样的路径和大小参数，

则使用了不同的路径和大小参数，因此选项B是正确的。'

剩余类环的可逆元有（）个.

AI参考:选项B:8，这是因为如果初始映射为一个基元的转换关系，加上虚数环同态映射的四种类型，总共可以有8个可逆元。因此，正确答案是B。'

假定R是一个整环，则一元多项式环 $R\left [ {x} \right ]$ 一定是

AI参考:单选题目应该只提供正确的选项。题目给出的描述涉及到多项式环的属性，而这些描述在所有的选项中都是可以验证的。多项式环是除环或域在数学上都是合理的，但是题目没有给出明确的提示或暗示。所以，正确答案是D，无法确定。如果多项式环一定是整环，那么题目中的描述就是正确的了。但题目中没有这样的提示，因此答案仍然是无法确定。因此正确答案应该是：答案：D.无法确定。'

设 ${Z}_{11\, }$ 是整数模11的剩余类环，则 ${Z}_{11\, }$ 的特征是（）

AI参考:正确选项是“D:1”。根据题目描述，图片中的元素是一个整数模11的剩余类环，因此它的特征就是模11余数为1的数，即模11的值。选项D为1，是模11的值。其他选项与题目描述不符。'

除环的理想有( )
A 4个 B 1个 C 2个· D 无穷个

答案:

群只有（）个二元运算（）

AI参考:正确选项是C：二。群是一种代数结构，它有两个二元运算，即乘法和加法。具体来说，对于任意两个元素a和b，群中都有乘法运算和加法运算的规则。因此，答案是C：二。'

整数加法群到12 阶循环群有（）个群同态.

答案:12

一个有8个元的域的特征是( )

AI参考:正确选项为【B:8】。一个有8个元的域的特征是8。在计算机科学中，域是一种数据结构，用于存储和管理一组相关的数据。在这个问题中，8个元表示域中包含8个元素，因此特征是8。选项A、C、D都不是一个合理的答案。'

设为有6个元素的循环群，是生成元，则的子集（）是子群.

AI参考:答案选D。{a,e}根据题目中的描述，第一个图像是一个循环群，其中包含6个元素。第二个图像是一个生成元，即这个循环群的子群中的一个元素。根据群的定义，子群必须满足封闭性，即如果a属于子群，那么a^k也必须属于子群。对于这个题目，我们知道a是第一个图像中的一个元素，而e是第二个图像中的一个元素。因此，{a,e}这个集合也是一个子群，答案为D。A、C选项中只有两个元素，即不满足封闭性的要求；B选项中的a只有一个不同的复制品，它不是一个新的群。所以正确答案是{a,e}。'

在高斯整数环中，单位元是（）.

答案:0AI参考:在高斯整数环中，单位元是0。因此，正确选项是C：0。'

整数环到剩余类环有唯一的非平凡环同态.（）

答案:对

设，分别为群的两个6与8阶子群，则有=2.（）

AI参考:答案：B：对。根据群的定义，群中的元素可以通过乘法运算形成一个循环群。在这里，$2^{3}=8$，而8是一个2的幂次，所以它既是原群的阶数，也是群的一个子群的阶数。因此，正确答案是B。选项A错误，因为题干中给出的$=2$是不正确的。'

设是有单位元的环的一个理想，令是多项式环中所有系数在中的多项式组成的集合，则是的一个理想.（）

AI参考:答案是B：对。根据题目描述，

是有单位元的环，

是多项式环

中所有系数在

中的多项式组成的集合。根据理想定义，如果一个集合是某个环的一个理想，那么这个集合中的所有元素必须满足某种关系，使得这个集合满足包含关系和封闭性等性质。根据题目描述，我们可以得出结论：由于

中的多项式系数都在

中，因此

一定是

的一个理想。因此，答案是B：对。'

设是有单位元的环，则.（）

AI参考:这是一道判断题。答案为“B:对”。根据题目描述，两个图像的源URL分别是不同的图片，而题目中给出的标签只是用来在HTML中嵌入图像，它本身并不涉及单位元环的问题。因此，题目中的两个图像并不构成一个环，也无法判断它们是否有单位元。所以，答案是“B:对”。'

设是环的左理想，令，则是的左理想.（）

AI参考:答案：B。根据题目描述，给出的三个图像分别代表三个不同的环，而题目要求判断第三个图像是否是第一个图像的左理想。但是，题目中没有给出任何关于第三个图像的信息，因此无法判断第三个图像是否是第一个图像的左理想。所以，这个判断是错误的。'

设是群，又. 则有.( )

AI参考:正确答案是B：错。给出的图片中并没有描述出任何关于群的信息，所以无法判断题目中所说的群是什么。因此，该题是错误的。'

唯一分解整环一定主理想整环.( )

答案:错

设是一个有单位元（用1表示）的有限环.如果，则（）

答案:正确答案:因为ab=1故若bx=0(x∈R)则x=(ab)x=a(bx)=a.0=0即b不是左零因子.于是对xy∈Rx≠y有bx≠by.这样因为R是有限环令R={a 1a 2…a n }则便有R={ba 1ba 2…ba n }.由于1∈R故存在a i ∈R使ba i =1.两边左乘a由ab=1得a(ba i )=(ab)a i =a i .又因为a(ba i )=a.1=a故a i =a从而得ba=1.因为ab=1,故若bx=0(x∈R),则x=(ab)x=a(bx)=a.0=0,即b不是左零因子.于是,对x,y∈R,x≠y有bx≠by.这样,因为R是有限环,令R={a1,a2,…,an},则便有R={ba1,ba2,…,ban}.由于1∈R,故存在ai∈R,使bai=1.两边左乘a,由ab=1得a(bai)=(ab)ai=ai.又因为a(bai)=a.1=a故ai=a,从而得ba=1.AI参考:B:错。判断一个集合是否是有单位元的有限环需要用到代数运算的性质以及模的形式化定义。在图片中的情况下，并没有提供足够的信息来判断这个集合是否是有单位元的有限环。因此，无法确定该选项的正确性。'

设是一个非平凡群，若中除单位元外其余元素的阶都为，
那么为素数或无穷.( )

AI参考:正确答案是B：对。由于给定的群是除了单位元以外的其余元素的阶都为另一个非平凡数，这意味着群是循环的，所以是素数或无穷。题目所给出的信息能够推导出正确的结论，所以答案是B：对。'

设D是一个主理想整环，则D上每一个真因子链都有限. （）

答案:对

当为素数时，所有的阶群都同构( )
答案（正确）

AI参考:答案是B：错。虽然素数和阶群之间的关系是重要的，但题目中的陈述并不完全正确。虽然素数是阶群的一个重要特性，但并不是所有的阶群都同构。阶群同构是指两个群在元素级别上的对应关系，使得对应关系满足一定的条件，如结合律等。因此，这个陈述是错误的。'

设有群同态, 那该同态的像是的正规子群.( )

答案:错

除环一定是域.（）

AI参考:B:对。除环一定是域。这是因为在除环中，任何非零元素都有逆元（除了可能为0），而在域中，任何非零元素都有且仅有逆元。因此，除环一定是域。'

对群中任何元素，有 . （）

AI参考:答案是B：错。给出的两个图片元素标签中的src属性指定了图片的链接地址，并且样式属性规定了图片的宽度和高度。题目中描述的是对群中任何元素

和另一个元素

之间的关系，这里缺少具体比较的元素和条件，无法判断正确与否。所以该判断题是错误的。'

4阶群若不是循环群，则必与Klein四元群同构. ( )

答案:对

设是域，是上以为未定元的二元多项式环是唯一分解整环. （）

答案:对AI参考:答案是B：对。根据题目描述，这是一个以三个图片链接为元素的二元多项式环，而唯一分解整环指的是在该环中，任何非零多项式都可以唯一分解为一次因式的乘积，即每个非零多项式都可以表示为三个图片链接中某一个的元素的多项式形式。因此，这个二元多项式环是唯一分解整环。'

设是群的子群. 证明：当是循环群时，是交换群.( )

AI参考:题目给出的信息表明，第一个图像是一个子群，并且第二个图像是循环群。但题目要求证明的是第二个图像是一个交换群，这并没有在题目中给出直接的关联或说明。因此，对于这个问题，我们需要更多的信息或者背景知识才能给出准确的答案。所以，无法确定答案。答案是B：错。'

设是一个有限群，是一个素数，那么中阶元素的个数是的倍数.( )

答案:对AI参考:答案是B：对。根据题目描述，

是一个有限群，这意味着该群中的元素数量是有限的。而

是一个素数，素数是只有两个正因数（1和它自身）的自然数。这意味着群中元素的阶只能分解为小于等于素数的因子。题目中的数字分别是：1.

中元素的个数2.

的阶3.

是一个由哪些素数组成的中项群中元素阶是该项素数的倍数。因此，该问题只需要考虑这个素数的阶。因为每个群元素的阶在小于素数的因子下都有个解（如果是无限群的，没有最小解）。因此，选项B：对。'

45 令R为偶数环，那么为域. （）

AI参考:正确答案是B。因为偶数环上的所有元素都含有因子2，因此非零元素必非素数，即为域。根据所给出的图片信息，如果有一个方程（可能是代数的方程），解为满足此方程的所有元素的集合称为这个方程的解集，这样的集合一定是环，由于所有的解中必定存在可以互相相乘的结果（环的定义），所以题目中所述的情况属于域的情况。因此答案为B，即对。'

高斯整数环是唯一分解整环.（）

答案:对

令为环，且对每个都有，则为非交换环.（）

答案:错

有限整环必为域.（）

答案:错AI参考:B.错。有限整环可能是域，也可能是体。因此有限整环不一定是域。'

设有群同态，那么该同态的核是G 的正规子群.( )

答案:对

的子环，是的理想，且,果是的理想，是的理想.（）

AI参考:正确答案是B。由子环和理想的概念可知，给定的判断是正确的。子环是原环的子集，而理想是环的子集，满足这些条件的环的理想有相同性质。因此，选项B是正确的。'

设是群的一个周期子群，且有限，则是周期群.( )

答案:对

设是数域上所有2阶方阵构成的环，则的理想只有.（）

AI参考:题目描述的应该是图片内容的判断题，该判断题的正确选项为“B：对”。解释：从题目给出的两张图片内容来看，它们分别表示两个不同的数域上的元素，而这些元素共同构成了某个环。由于给出的图片并没有提供足够的信息来判断这两个数域是否是同一个环，因此无法确定该环的理想是否只有自身。因此，该判断题的答案为“B：对”。'