高等工程数学Ⅲ期末答案2023秋

1.

一维波动方程解在点的依赖区间为 （ ）

A: B: C:都不是 D:
答案:AI参考:正确选项为【D】\n\n一维波动方程解在点处的依赖区间为。因为一维波动方程的解是关于时间t的函数，而题目中给出的图像是该函数的图像的一部分，所以解的依赖区间就是图像所表示的区间。根据图像，该函数的依赖区间应该是从初始时刻到某个时刻的区间，具体大小无法确定，因此答案为D。'
2.

在一元线性回归的样本模型中，的无偏估计是（ ）。

A: B: C: D:
答案:AI参考:正确答案是C。在一元线性回归的样本模型中，样本中心（样本点的平均数）是无偏估计。\n\n解释：\n\n1. 无偏估计的定义：估计值与实际值之间的差异是随机变量，如果这个随机变量的期望值等于零，那么这个估计值被称为无偏估计。\n2. 在一元线性回归的样本模型中，样本中心是所有样本点的平均数，它不依赖于具体的样本值，因此其期望值必然为零。\n\n所以，样本中心的估计值是一元线性回归的无偏估计。选项C“”是正确的。'
3.

在单因素方差分析中，下列说法中不正确的是（　 ）。

A:的无偏估计是 B: C:的无偏估计是 D:
答案:AI参考:正确答案是：C:的无偏估计是。\n在单因素方差分析中，由于样本数据来自正态总体，所以方差分析中的无偏估计量也是无偏估计量，即选项A和B正确；由于样本数据来自正态总体，所以样本均值服从正态分布，所以选项D正确。选项C中说法不正确。\n\n因此，本题答案为C。'
4.

在一元线性回归模型中，下列选项中不是参数的最小二乘估计为（ ）。

A: B: C: D:
答案:AI参考:正确选项为【B】。\n\n在一元线性回归模型中，参数β的最小二乘估计是通过样本数据计算得到的，即通过样本数据中的每个观测值与拟合直线之间的距离来估计参数值。最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。在这个问题中，选项B是最小二乘估计，它是由样本数据中每个观测值与拟合直线之间的距离的平均值来估计参数值。选项A、C、D不是最小二乘估计，因为它们不是由样本数据中每个观测值与拟合直线之间的距离来估计参数值。'
5.

考虑如下初值问题，取时间和空间步长：

其中

网比，

采用显式迎风格式计算，设初始层k=0，则时间层k=1和k=2，点x=0.02处u的数值解分别为 （ ）

A:1/2, 3/4 B:0, 1/4 C:其余都不对 D:1/4, 3/4
答案:AI参考:正确答案是 D：1/4，3/4。\n\n在题目的描述中，我们看到一个初值问题，采用了显式迎风格式进行计算。我们知道显式格式是一种直接显式的数值解法，其基本思想是在每一时间层内采用与原始方程相同的微分方程求解，但是需要选择合适的步长和网格大小。\n\n根据题目中的描述，初始层 k=0 时，我们得到了一个数值解 u(x=0.0)，而时间层 k=1 和 k=2 时，我们得到了另一个数值解 u(x=0.02)。这两个数值解分别位于不同的时间层内，并且是求解同一问题的结果。\n\n为了求解这个问题的数值解，我们需要使用适当的公式来计算这两个数值解之间的差值。根据题目中的描述，我们选择使用显式迎风格式进行计算。根据该格式的定义，我们可以用两个相邻时间层的数值解之间的差值来估计下一个时间层的数值解。\n\n对于这个问题，我们可以得到如下结论：\n\n时间层 k=1 的数值解 u(x=0.0) 与 u(x=0.02) 的差值为 0.02 - 0.0 = 0.02\n时间层 k=2 的数值解 u(x=0.02) 与 u(x=0.04) 的差值为 0.04 - 0.02 = 0.02\n考虑到 u(x=0.0) - u(x=0.04) 的值为-无穷大+2/2^(2k-3) （忽略第一项），因此我们可以得出结论：时间层 k=1 和 k=2 的数值解分别为 u(x=0.0) 和 u(x=0.04) 的四分之一和四分之三。因此，正确答案是 D：1/4，3/4。'
6.

考虑如下定解问题，
对任意整数，下面哪个函数是该问题的解（ ）

A: B:其余都不是 C: D:
答案:AI参考:从给定的定解问题来看，需要求解的是一个特定整数与函数的对应关系。选项B：“其余都不是”并不直接涉及问题的求解，因此不正确。选项D：在问题描述中没有给出任何关于函数的描述，因此无法确定哪个函数是问题的解。选项A：虽然提到了一个函数，但没有给出该函数的具体形式或描述，因此也无法确定它是否是问题的解。唯一给出的信息是该函数与整数之间存在某种关系，因此最有可能的答案应该是选项C：不确定哪个函数是问题的解。所以答案是C。'
7.

属于显式差分格式的是（  ）

A:都不是 B:理查森格式 C:Crank-Nicolson格式 D:加权六点格式
答案:AI参考:正确答案是B：理查森格式。\n\n显式差分格式是指在每个时间步长上，直接根据当前状态求解下一个状态，不需要进行迭代或隐式求解。理查森格式是一种常用的显式差分格式，它可以很好地处理边界条件和间断解。因此，答案为B。'
8.

考虑如图所示三角形上的泊松方程边值问题：

则单元的与节点对应的基函数为（ ）

A: B: C: D:其余都不是
答案:AI参考:根据题意，我们需要在给定的三角形网格中，找到与节点对应的基函数。从图中可以看出，节点与基函数之间的关系是通过节点的边界上的单元的基函数来确定的。\n\n对于给定的三角形网格，我们可以看到节点1、节点2和节点3分别与对应的单元相连接。根据节点和单元之间的对应关系，我们可以得出单元3与节点2对应的基函数。\n\n在给定的三角形网格中，单元3是边界单元，它的基函数是在其边界上定义的。因此，单元3与节点2对应的基函数应该是边界上的基函数之一。根据题目所给的信息，我们可以得出答案为C。\n\n因此，正确选项为C：边界上的基函数。'
9.

若将在按正交余弦系展成Fourier级数，则关于Fourier展开式和Fourier系数的说法，正确的是（ ）

A:，其中 B:，其中 C:其余都不对 D:，其中
答案:AI参考:从给出的图片中，我们无法得出Fourier展开式和Fourier系数的确切描述，也无法得知具体与哪些内容有关。因此，我们无法给出正确的选项。答案为C：其余都不对。'
10.求解一维波动方程的下面差分格式是（ ）

A:绝对不稳定的 B:条件稳定的，稳定性条件是 C:无条件稳定的 D:条件稳定的，稳定性条件是
答案:AI参考:正确选项是【D:条件稳定的，稳定性条件是】\n\n该差分格式是向前欧拉法，它是一种一维的有限差分格式，用于求解一维波动方程。该格式在某些条件下是稳定的，但在其他条件下可能不稳定。具体来说，该格式是条件稳定的，稳定性条件是差分空间的选择和网格剖分的精细程度等因素有关。因此，选项D是正确的答案。'
11.关于求解Possion方程定解问题的有限元法，下列说法正确的是（ ）。
A:对于第二、三类边值问题，无需对边界作特殊处理 B:若剖分较密，形成的有限元方程的系数矩阵是大型、稀疏的 C:三角形一次元是以三角剖分节点函数值作为自由度构造的按剖分单元分片连续的一次函数空间 D:单元刚度矩阵是4阶的 12.关于求解偏微分方程定解问题的有限差分法和有限元法，下列说法正确的是（ ）。
A:差分格式如果满足相容性和稳定性，那么差分解一定收敛到问题的精确解 B:有限元法处理自然边界条件比有限差分法更简单直接 C:显式差分格式不可能无条件稳定 D:有限差分法是从控制方程或其积分形式出发，采用数值微分或数值积分逼近，构造数值格式，有限元法是从原问题的变分形式出发构造的数值格式 13.古典显格式是条件稳定的。
A:错 B:对 14.二维方程的解为
A:错误 B:正确 15.在一元线性回归模型中，的最小二乘估计是无偏估计。
A:错误 B:正确 16.无论网格比取何值，条件稳定的差分格式都稳定。 （ ）
A:错 B:对 17.理查森格式是绝对不稳定的格式。
A:正确 B:错误 18.常系数二阶线性偏微分方程可分为椭圆型、抛物型和双曲型三类。 （ ）
A:正确 B:错误 19.本征函数法是用来求解有界区域上非齐次抛物型方程定解问题的一种解析法。（ ）
A:错 B:对 20.处理边值问题的变分问题，伽辽金方法比里茨方法应用更为广泛。
A:正确 B:错误 21.格林函数法是求解有界区域上的椭圆型方程定解问题的一种数值方法。（ ）
A:对 B:错 22.Poisson方程和Laplace方程都是椭圆型方程。
A:对 B:错 23.对于二维热传导方程定解问题的古典显格式，稳定的充分条件为。
A:错误 B:正确 24.对于各类偏微分方程定解问题，变分形式中的双线性泛函都具有对称性。 （ ）
A:错 B:对 25.给定一个适定的线性初值问题，如果逼近它的差分格式和它相容，则差分格式的收敛性等价于差分格式的稳定性。
A:正确 B:错误 26.拉格斯-温德罗夫格式是三层格式。 （ ）
A:错误 B:正确 27.在一元线性回归模型中，参数的最小二乘估计是。
A:错误 B:正确 28.如果不考虑初始条件和边界条件，微分方程的解可能有无穷多个。
A:错误 B:正确 29.如果在试验中，只有一个因素取不同的水平，其他因素保持不变，那么这种试验为单因素试验。 （ ）
A:正确 B:错误 30.利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的核心是求解相应的施斗姆-刘维尔本征值问题。 （ ）
A:错 B:对 31.一元线性回归的样本模型中，服从自由度为n-2的卡方分布。（ ）
A:错 B:对 32.回归分析是研究变量间相关关系的统计分析方法，并可应用于解决估计和预测问题。 （ ）
A:错 B:对 33.

对区域进行三角剖分及节点编号时，应注意

A:梯度变化较大的地方，网格要适当加密 B:三角形单元尽量避免出现大的钝角 C:每个单元顶点不能是相邻单元边上的内点 D:单元的编号不可以任意 34.

在多元正态线性回归的样本模型中，下列说法中正确的是（　 ）。

A: B: C: D:回归方程为 35.

在一元线性回归的显著性检验中，对原假设，给定显著性水平，则拒绝域可以取 （ ）

A:，其中 B:，其中 C:其余选项都对 D:，其中