量子力学期末考试答案题库2024秋

兰州理工大学

1. https://image.zhihuishu.com/zhs/teacherExam_h5/COMMONUEDITOR/202203/0b33e5ae8e7c4887ab809d5c2e089b6e.png


答案:

2. https://image.zhihuishu.com/zhs/teacherExam_h5/COMMONUEDITOR/202203/8488275caddb46819fb767dc0c18bdbe.png


答案:

3. https://image.zhihuishu.com/zhs/teacherExam_h5/COMMONUEDITOR/202203/84c82485139f41cc8274ce9bea16c216.png


答案:

4. 请计算下题：利用测不准原理，估计一维线性谐振子的基态能量。


答案:根据量子力学的测不准原理（不确定性原理），对于一维线性谐振子的基态（即第一激发态），我们没有直接应用测不准原理来直接计算其能量，因为测不准原理涉及到粒子位置和动量的不确定性关系，而谐振子的能量与其量子数相关。 一维线性谐振子的基态能量可以通过量子力学中的谐振子能量公式计算得到： \[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega \] 其中，\(n\) 是量子数（\(n=0,1,2,...\)），\(\hbar\) 是约化普朗克常数，\(\omega\) 是谐振子的角频率。 对于基态，\(n=0\)，因此： \[ E_0 = \left(0 + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega = \frac{1}{2} \hbar \omega \] 所以，一维线性谐振子的基态能量为 \(\frac{1}{2} \hbar \omega\)。

5. https://image.zhihuishu.com/zhs/teacherExam_h5/COMMONUEDITOR/202203/8ab4718099084783928e10c531ddeece.png


答案:

6. 请同学们仔细阅读题干并分析：两算符对易的物理含义是什么？


答案:两算符对易的物理含义是这两个算符作用于任何态上时，它们的作用顺序可以互换，即\[ [A,B] = AB - BA = 0 \]。这意味着测量一个算符后再测量另一个算符，不会因为测量顺序而影响系统的状态或测量结果。在量子力学中，这通常与可观测量的兼容性相关联，即两个对易的算符代表可以同时精确测量的物理量。

7. 根据题目做出分析：力学量算符有哪些性质？


答案:量子力学中力学量算符的性质包括： 1. **线性算符**：遵循态叠加原理。 2. **厄米性（Hermitian）**：保证算符的本征值为实数，对应物理可观测量。 3. **算符相等**：若两个算符对所有函数作用效果相同，则二者相等。 4. **算符相加**：可以执行线性组合。 5. **本征函数的正交性、归一性和完全性**：确保了量子态的完备描述。 6. **与经典力学量的对应**：代表可观察的经典物理量。