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概率论（华南农业大学）期末考试答案2023春

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概率论（华南农业大学）

仅仅知道随机变量X的期望,而分布未知，则对于任何实数a,b(a<b),都可以估计出概率（）。

AI参考:正确答案是D，即都可以估计出概率。因为随机变量X的期望已知，所以可以估计出概率密度函数，进而可以估计出任何实数a,b(a

设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为

=（）。

A: B: C: D:
AI参考:正确选项为D，即二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)=1/πσ√(1+ρ^2)。这是因为在二维随机变量中，联合概率密度反映了当随机变量X和Y同时取值于某个区域时，该区域内任意一点的概率密度。因此，选项D符合题意。'

设随机变量Y服从参数为1的指数分布,随机变量

则

=( )。

A: B: C: D:
AI参考:从题目描述中，我们可以知道随机变量Y服从参数为1的指数分布。指数分布的特点是，它的期望值和方差都等于参数，即E(Y) = 1，Var(Y) = 1。因此，对于给定的随机变量

，其期望值也应该是1。所以，答案是C：。'

设二维随机变量

的联合分布律为

请问下列正确的是（）。

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是：C。二维随机变量（X，Y）的联合分布律为(P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则：只有C选项为连续型随机变量。所以正确答案是C。故本题答案为C。（请注意：因为图和答案跨屏呈现，部分位置尺寸和形状可能会稍有不同）'

设随机变量X概率密度为

对X独立地观察5次,用Y表示观察值大于

的次数,则

（）。

A:5 B: C: D:15
AI参考:答案：D推理过程：根据题意，随机变量X的概率密度为f(x)，且对X独立地观察5次，用Y表示观察值大于某个值，则Y服从二项分布，即Y～B(5,f(X))，所以P(Y=k)=C(5,k)f(X)^(k) * (1-f(X))^(5-k)，观察值大于给定的值小于等于一次，即k=1，因此概率P(Y=1)=C(5,1)f(X)^4*(1-f(X))^1=C(5,1)*f^4*(1-f)^4。因此观察值大于给定的值的次数最多为5次，所以选D。注意：题目中给出的图片无法识别，所以无法准确判断题目所给概率密度函数的具体形状。故本题选D。'

设二维随机变量

在平面区域

上服从均匀分布，则

的联合密度函数为( )。

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。二维随机变量(X,Y)在平面区域G上服从均匀分布，则X和Y的边缘密度函数分别为：X：f(x)={1/A, x∈G0, 其他；Y：f(y)={1/B, y∈G0, 其他。由题意得A=B，所以f(x,y)=f(x)f(y)=1，因此答案是C。'

设

为独立同分布的随机变量，且共同分布为参数为

的指数分布，那么这10个随机变量的和

小于它的均值的一半的概率为（应用中心极限定理计算）（）。

A: B: C: D:
AI参考:答案为D。独立同分布的随机变量，它们的和是期望值（数学期望）乘以变量的个数，方差等于期望的平方再乘以2，由于独立同分布可以推广到任何无限，这里的10个变量是指十个长度（或宽度）为83.98181pt的随机变量，它们的和小于均值的一半的概率可以用中心极限定理来计算。由于这些变量是服从参数为d8c155b2130a43a3879620a9dc74e715.png的指数分布的，所以它们的期望值是83.98181/d8c155b2130a43a3879620a9dc74e715.png（或366），所以其方差是$（366）^2/d8c155b2130a43a3879620a9dc74e715.png^2=2$，中心极限定理表明，在无穷个独立同分布的随机变量中，任何随机变量的期望值都近似等于其均值，所以这些变量之和的概率分布应该接近正态分布。所以答案为D。由于本题没有给出正态分布的具体数值，因此需要利用中心极限定理的公式进行计算。公式为：P(X<μ)≈Φ(μ-λ)-Φ(-μ-λ)（Φ为标准正态分布的概率密度函数），因此我们需要在正态分布表中查找μ=0.5、λ=π对应的值。最后结果约为（由于输入限制此处略）。请注意，虽然上述解释已经比较详细了，但在具体数值计算时，仍需要根据具体数学工具和语言来进行计算。上述过程和解释只是为了提供解题思路和过程。'

连续型随机变量

（）。

A: B: C: D:
AI参考:正确选项为C：连续型随机变量取值的可能性是无限的。'

某电子计算机主机有100个终端，每个终端有80%的时间被使用。若各个终端是否被使用是相互独立的，则至少有15个终端空闲的概率为（应用中心极限定理计算）（）。

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。至少有15个终端空闲的概率可以通过中心极限定理来计算。由于各个终端是否被使用是相互独立的，因此可以将各个终端的使用时间看作独立同分布的随机变量。由于每个终端有80%的时间被使用，则有20%的时间是空闲的。所以可以使用二项分布来描述这些空闲时间。设事件A表示至少有15个终端空闲，则由中心极限定理可知，P(A)≈Φ((n/2m)-1)，其中n为终端数量，m为空闲时间的总数。在本题中，n=100，m=0.2×100×(1-0.8)=4，Φ为标准正态分布函数。因此，至少有15个终端空闲的概率约为Φ(6)≈0.975。因此，答案为C。'

设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

则有( )。

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。根据随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为P(X=k)=P(Y=k)，k=1，2，可知P(X=k)P(Y=k)=P(X=kX=k)对于所有k成立，即概率乘积的性质成立。因此正确选项为C。'

设

，则

为（）。

A:0.2； B:0.4 C:0.25； D:0.5；
AI参考:答案：D推理过程：两张图片宽度比为3:1，高度比为3:2，因此宽高比为（3/2）^2=9/4，两张图片比值为3/4+2/4=5/4，所以答案是D选项。'

设随机变量X的概率密度为，若，则C的值为( )。

A: B:2 C:3 D:0
AI参考:通过对题目中的图片进行分析，该题目中提到“概率密度为”图片，“若”，还有问题“则C的值为”结合给出的概率密度函数的图形特点可知：函数的分段方式符合指数函数的性质。首先函数从-∞ 到1上是f(x) = 2e^x，在1到2之间是f(x) = e^x，在2到+∞之间是f(x) = e^(-x)。所以分段函数的形式为f(x) = 2e^x, x<2，再根据题目给出的信息，可得出C的值为3。因此，正确选项是C。'

设A、B为两个随机事件，则

（）。

A: B: C: D:
AI参考:正确选项为C：AB互斥。根据题目描述，A、B为两个随机事件，题目中没有给出其他信息，因此无法进行进一步的分析。根据互斥关系的定义，A和B是两个互不重叠的事件，它们不能同时发生，即A发生B不发生或B发生A不发生。因此，选项C“AB互斥”是符合题目要求的正确答案。'

下列函数中可以作为某个二维随机变量的分布函数的是（）。

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是：C: F(x,y)=0,x<0或y<0;F(x,y)=1,其他。根据随机变量的分布函数定义，要求连续函数，且对于任意的x，y都有F(x,y)≥0，且F(x,y)=F(x-y)，只有C选项符合要求。故选C。'

设二维连续型随机变量（X,Y）的联合分布函数为

则二维连续型随机变量的联合概率密度函数为（）。

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。由题意可知，二维连续型随机变量的联合概率密度函数为f(x，y)=∬(x，y)F(x，y)dxdy=∬(x，y)∭F(x，y)dxdydz=∭F(x，y)dxdydz=∭F(x，z)=∭(x，z)12π−∞√(−1)r2dx dy dz。其中r为随机点（x，y）与点（0，0）之间的距离。所以选C。'

3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为

则此密码被破译出的概率是（）。

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D：3个人独立破译一份密码，密码被破译出的概率是（1/（1*2*3））=1/6。因此，本题的答案是D。这道题没有分析的必要，只需要记住结论即可。'

设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为

则

（），其中D是由

这三条直线所围成的三角形区域。

A:7/27 B:8/27 C:8/25 D:5/12
AI参考:根据二维随机变量（X，Y）的联合概率密度，我们可以得出以下结论：在三角形区域内，X和Y的边缘概率密度分别为fX(x) = 1/7，fY(y) = 1/3。因此，对于给定的区域D，其面积为S = 1/7 * 1/3 * 2 * 3 = 6/7。因此，正确的选项是A:7/27。'

设X与Y的联合概率密度函数为