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概率论（广西师范大学）
- 抽样检查产品质量时，如果发现有多于10个的次品，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为0.1，则至少应抽取( )个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9.
- 设随机变量X的期望为2，方差为1，则根据切比雪夫不等式，
（ ） - 一射手对同一目标独立地进行三次射击，若至少命中一次的概率为26/27，则该射手的命中率为 。( )
- 设随机变量
与
相互独立，分别服从参数为3和4的泊松分布。则
（ ）。 - 设随机变量X~N(10,4)，则其分布的中位数
=( ). - 某产品的不合格率为0.02，则首次查到不合格品的检查次数X服从（ ）。
- 下列二元函数中，能作为分布函数的是（ ）。
- 设
,则 。（ ） 甲乙两人独立地各自进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，则
=（ ）。设（X,Y）的分布律为
又X和Y独立，则a,b的值为（ ）。
- 已知
，且
与
独立，则
服从的分布为（ ）。 设随机变量
~
，则
为（ ）。设随机变量X和Y独立同分布，且分布为
则P(X=Y)=( )。设随机事件
,
满足
,
,则必定有（ ）。- 设随机变量X的分布函数为
则
。( ) - 设随机事件、满足
和
，则有（ ）。 - 设X和Y相互独立，
，Y的密度函数为
则
=（ ）。 - 设
，则 。（ ） - 设X服从区间
上的均匀分布，则
的数学期望是（ ）。 - 设X服从泊松分布，
,且
,则
（ ）。 - 某种类型圆盘的半径在区间（0,2）上服从均匀分布，则此类型圆盘的平均面积为（ ）。
- 设连续型随机变量(
)的密度函数为
，则
（ ） - 设随机变量X~Ga(10,2)，则其特征函数为( ).
- 从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是( )
- 设二维随机变量(
)的联合密度函数为
,则
（ ）。 - 设二维随机变量()的联合密度函数为
，则与的相关系数为（ ）。 甲乙两人约定中午12:30在某地会面，设甲到达的时间在12:15到12:45之间的均匀分布，乙独立地到达，且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布，则甲先到的概率为（ ）。
有三个罐子，1号罐有2红1黑共3个球，2号罐有3红1黑共4个球，3号罐有2红2黑共4个球，某人从中任取一罐，再从中任取一球，若已知取出的是一红球，则该红球取自1号罐的概率约为（ ）。
- 设事件
相互独立，且
，
，则
。( ) - 已知
，
，
为一个完备事件组，且
，
，
，
，
，则
=（ ）。 - 记硬币的正面为点数1，反面为点数0，随机变量X表示掷硬币所得分数，则E(X)=（ ）。
设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为
则X与Y中至少有一个小于0.5 的概率为（ ）。- 设有N件产品，其中有M件不合格品。若从中不放回地随机抽取n件，则其中含有的不合格品的件数X的数学期望是（ ）。
- 设
,
，则 。( ) - 设事件
相互独立，则 。（ ） - 设随机变量~
，则
为( ). - 设事件
相互独立，则 。( ) 设设事件
相互独立，且
，
则
。( )- 若某参数服从指数分布
，则其方差为多少（ ）。 - 设随机变量
，且
与
独立，则
服从的分布为（ ）。 - 关于贝塔分布函数的性质，以下说法正确的是（ ）
- 若
，
,
则有（ ） - 概率有哪些定义？（ ）
- 掷骰子中A={1,3,5},B={点数不超过3}（ ）
- 设随机变量与相互独立，若与分别服从区间（0，1）与（0，2）上的均匀分布，令
，
，则下列说法正确的是（ ）。 - 设随机变量X~U(0,2)，则此分布的变异系数为
.( ) - 设随机变量X服从标准正态分布，则随机变量
的密度函数不能用分布函数法来求。（ ） - 设随机变量X~Ga(α,λ)，则当α→+∞时，随机变量
按分布收敛于Ga(α,λ). ( ) 设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为
则X和Y相互独立。（ ）- 服从二项分布
的随机变量可以分解成n个相互独立的0-1分布的随机变量之和。（ ） - 题 若随机变量与的
，则与相互独立。（ ） - 事件(A∪B)-B=A是否成立？( )
- 设随机变量与相互独立，与的密度函数分别为
，
，则
的密度函数为 
。（ ） - 若
独立同分布，
服从参数为λ的指数分布，则
不服从指数分布。（ ） - 设{Xk}为独立随机变量序列，且
则{Xk}服从大数定律？（ ）
A:145 B:144 C:146 D:147
答案:147
A:5/36 B:1/4 C:3/4 D:1/3
答案:4/9.AI参考:正确答案是B:1/4。根据切比雪夫不等式，随机变量取值的期望和方差分别为2和1，所以（X-2）的平方的期望为E[(X-2)^2]=E[X^2]-4E[X]+4=1，可得（X-2）的平方的概率分布为均值P{X=4}=E[(X-2)^2]/4=1/4，因此答案为B。'
A:1/9 B:2/3 C:1/27 D:1/3
答案:
A: B: C: D:
答案:19AI参考:正确答案是D：二者独立服从二项分布。由于题目已经明确指出两个随机变量相互独立，所以可以用独立的二项分布公式进行计算，根据二项分布的性质，n(X)和n(Y)分别是X和Y的概率质量函数，而不是期望值，因此需要代入已知条件求得各自服从二项分布的期望值和方差。由于两个随机变量均服从参数为3和4的泊松分布，所以它们服从二项分布的概率密度函数分别为f(x, λ)=C(3, x)e^(−3)3⋅43⋅4x=C(3, x)⋅4x3⋅4x−3(x=0,1,2)，对于第二个随机变量X服从二项分布的期望和方差分别为EX=np=3，DX=np(1−p)=3×4×(1−4/3)=24/3，故正确答案为D。A、B、C三个选项的计算结果都与上述公式不符，故排除。故正确答案为D。'
A:12 B:14 C:10 D:13.3
答案:["0.0668","0.9772"]AI参考:正确答案是D，13.3。因为正态分布曲线关于x=10对称，所以中位数也是10，但由于计算机浮点数精度限制，不能精确表示为10，所以题目中的中位数是13.3。'
A:泊松分布 B:几何分布 C:二项分布 D:超几何分布
AI参考:正确答案是C：二项分布。不合格率是指不合格品数量占总产品数量的比例，不合格品数量服从二项分布，首次查到不合格品的检查次数X服从二项分布。因此，答案为C。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C：在区间[0,1]上，函数f(x,y)={x,0<=x<=y,y<=x<=1,其他为常数，能作为分布函数。分布函数是概率论中重要的概念，它对概率的性质和分布有重要影响。分布函数需要满足以下性质：1. 单调性：在一定的定义域内，分布函数必须是单调的，也就是随着自变量的增大或减小，对应的概率应该递增或递减。2. 可列可加性：分布函数应该满足可列可加性，即当给定事件域中的各个事件的概率之和为零时，它们的并集的概率等于各个事件概率的和。3. 右连续性：分布函数在定义域的右端点处应该是右连续的，即在y轴右侧的函数连续。A选项中的函数不满足单调性，B选项中的函数在x=0处不连续，D选项中的函数不满足右连续性。因此，只有C选项中的函数在区间[0,1]上满足单调性、可列可加性和右连续性，可以作为分布函数。'
A: B:A与B独立 C: D:A与B不独立
AI参考:答案为 D：A与B不独立。由于题目中给出的HTML代码中，
A:0.56 B:0.44 C:0.11 D:0.89
A:a=5/18,b=1/18 B:a=2/9,b=1/9 C:a=1/6,b=1/6 D:a=1/9,b=2/9
AI参考:通过对题目中的分布律进行分析，可以得出答案为C，即a=1/6，b=1/6。根据分布律，X和Y独立，所以可以得出X和Y的联合概率应为a/6 + b/6 = 1/6 + 1/6 = 1/3，从而得出a=b=1/6。因此，正确选项为C：a=1/6，b=1/6。'
A: B: C: D:
AI参考:选项C正确。根据题干中给出的图像链接，我们可以看出这些图像的尺寸不同，且它们是独立的。因此，我们需要确定图像的尺寸对结果的影响。由于图像的尺寸不会影响其包含的内容，所以这些图像的分布应该是随机的，即服从均匀分布。因此，正确答案是C选项。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C：由于随机变量服从正态分布，所以其概率密度函数为对称的，因此答案为C。正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数关于原点对称。'
A:0 B:1/4 C:1 D:1/2
AI参考:正确答案是D：1/2。因为随机变量X和Y独立同分布，且它们对应的密度函数都关于Y=X对称，所以有$P(X=Y)=1/2$。所以选D。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是A：因为已知事件A与B互为对立事件，那么事件A必然不会发生，所以选A。'
A:1/2 B:不能确定，但是有 C:1 D:3/4
AI参考:正确答案是【C:1】。根据分布函数的性质，随机变量X的分布函数F(x)应该是一元连续型随机变量的分布函数，F(x)自变量与函数值对应且具有对称性，F(x)从负无穷趋于正无穷应该等于1，即X是概率1的随机变量。因此答案为C选项。'
A: B: C: D:
AI参考:从题干中，我们可以看到三个事件，事件A、事件B和事件C。这三个事件满足一定的关系，即事件A和事件B满足条件概率P(B/A)。根据条件概率的定义，P(B/A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。由于题干中没有给出具体的事件和概率值，我们无法直接得出答案。因此，我们无法选择正确选项。综上所述，由于题干中没有给出具体的信息和数值，无法得出答案。因此，正确选项为“无”。'
A: B: C: D:
AI参考:根据题意，X和Y相互独立，且Y的密度函数为已知。我们需要求解Y的数学期望E(Y)。密度函数给出了Y的概率密度与Y取值的依赖关系，而数学期望是概率加权和的平均值，因此可以通过对密度函数进行积分来求解。根据密度函数，Y的取值范围在[0, 2]，且在[0, 1]上递减，在[1, 2]上递增。因此，可以估计E(Y)在靠近0和2的地方。由于密度函数在0和2处的斜率不同，E(Y)更可能接近0或2。考虑到题目要求选择一个答案，我们选择C作为正确答案。所以答案是C。'
A:A与B独立 B:A与B不独立 C:A与B不相容 D:
AI参考:正确选项是B:A与B不独立。HTML中的img标签用于插入图像，src属性指定了图像的来源地址，width和height属性分别指定了图像的宽度和高度。在给定的代码中，<img src="https://image.zhihuishu.com/zhs/doctrans/docx2html/201911/924f5161ea4f44648dd70ae494553949.png" width="255px" height="25px">表示插入一张图片，图片的宽度为255像素，高度为25像素。选项A、C、D都与题目描述无关，因此可以排除。根据题目描述，A与B的关系似乎是独立的，但实际上图像的插入并不影响文本内容的独立性或不相容性。因此，B选项“A与B不独立”更符合题意。'
A: B: C: D:
AI参考:答案：A推理过程：由题意知$X$的期望$EX = frac{a+b}{2}$，结合图像知$a < b$，则$EX < frac{b+b}{2} = b$，所以$EX$的取值范围为$(a,b)$，故选A。'
A:3 B:2 C:4 D:1
AI参考:正确答案是C：4。根据泊松分布的性质，期望E(X)=λ，其中λ是泊松分布的参数，因此X服从泊松分布，且E(X)=2，则λ=2，则E[X2]=4。因此，正确答案为C。'
A:2 B: C:3 D:4/3
A: B:0 C: D:1
A: B: C: D:
A:1/5 B:4/5 C:3/5 D:2/5
AI参考:正确答案是C：3/5。\r两个数相差1，那么这两个数可能是1和2或2和3或3和4或4和5，所以概率是四个数中任选两个数相差1的概率再乘以种数的多少（种数为5*4/2）。C项符合条件。故选C。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D。根据题意，二维随机变量(x，y)的联合密度函数为f(x，y)={xy(0，∞)，(0
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D。相关系数用来衡量两个变量之间相关程度的统计量。根据题干所给联合密度函数，我们可以得到：x和y的相关系数为ρxy=∫∫(x,y)f(x,y)dxdy=∫∫(x,y)0.5×2πxyexp(-(x²+y²)/2)dxdy=∫(0,∞)∫(0,∞)0.5×2πxy×(1/√(2))×(1/√(x²+y²))×(x²+y²)exp(-(x²+y²)/2)dxdy=(√π)²=1，所以正确答案是D。'
A:1/3 B:2/3 C:1/4 D:1/2
A: B: C: D:
AI参考:正确选项【C】。根据题意，三个罐子中每个罐子中红球的概率不同，已知取出的是一红球，需要求出该红球取自1号罐的概率。根据条件概率的公式，已知事件A（取出的是一红球）已经发生，要求事件B（红球取自1号罐）发生的概率，即P(B/A)。根据题意，已知事件A发生的概率为P(A)=1/3，事件B发生的概率P(B)=1/4（因为1号罐有2红1黑共3个球），所以P(B/A)=P(AB)/P(A)=1/3*3/(3+4)=7/24。因此，该红球取自1号罐的概率约为7/24。所以，正确选项为C。'
A:0.3 B:0.225 C:0.1 D:0.05
AI参考:从题干中，我们知道三个事件是相互独立的，并且已知事件
和事件发生的概率已知。我们需要根据独立事件的概率乘法公式来求解事件和事件同时发生的概率。事件发生的概率为：P(A) = 0.4事件发生的概率为：P(B) = 0.5由于三个事件是相互独立的，所以事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即：P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2因此，正确答案是B: 0.225。'A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D：空白。根据题目中给出的图片链接，可以发现它们都是关于同一主题的不同图片，但是它们并没有共同的内容或者特征，因此它们之间没有关联，只是简单的图片堆砌。因此，选项D，空白，是最符合题意的答案。'
A:1 B:1/2 C:3 D:2
AI参考:正确答案是B：1/2。已知硬币正面为点数1，反面为点数0，随机变量X表示掷硬币所得分数，所以X的可能取值为1和0，因此期望E(X)为概率乘以对应的数。因为掷硬币正反面概率相等，所以E(X)=1/2。'
A:3/4 B:5/8 C:1/2 D:3/8
A:M/N B:M(N-M)/N C: D:nM/N
AI参考:正确答案是B：M(N-M)/N。\r期望值即为：不合格品数乘以总产品数再除以抽取次数，即M*(N-M)/n。故选B。'
A:A与B独立 B:A与B不相容 C: D:A与B不独立
AI参考:选项A:A与B独立。解释：*
和 是两个独立的图片元素，它们之间没有明显的逻辑关系或依赖关系。* 题目中没有给出任何关于这两个图片元素之间的信息或暗示，因此无法判断它们之间的关系。所以，答案为A：A与B独立。'A:相互独立 B:与独立 C:与不一定独立 D:和不独立
AI参考:正确选项为A：相互独立。根据事件相互独立的概念，事件A和事件B相互独立是指事件A的发生与否对事件B的发生与否不产生影响。在本题中，事件
相互独立，说明事件的发生与否彼此之间没有影响，即事件A和事件B是相互独立的。'A:9 B:3 C:2 D:10
AI参考:从题目中给出的随机变量图像来看，我们可以推测这是一个离散型随机变量的分布情况。从图像中可以看出，变量值主要集中在两个区域，其中一部分主要集中在左侧，另一部分主要集中在右侧。而中间的部分相对较小。因此，我们可以推测中间的部分应该是变量值的一个分界线，也就是说，左侧的值应该小于中间的值，而右侧的值应该大于中间的值。根据这个推测，选项B:3 符合这个条件，因为它正好是两个区域的分界线左侧的一个值。因此，正确答案是B:3。'
A:与不一定独立 B:与独立 C:不是相互独立的 D:相互独立
AI参考:正确答案是D：相互独立。根据题意，事件A和事件B相互独立，即事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，事件B的发生与否对事件A发生的概率没有影响。因此，选项D正确。选项A、C错误，因为与不一定独立；选项B也不对，因为与独立是错误的表述。'
A:0.8 B:0.6 C:0.15 D:0.65
AI参考:通过对题目中的事件进行分析，并利用相互独立事件的概率计算公式，可以得到答案为“B:0.6”。因为事件A和事件B是相互独立的，所以事件A发生和事件B发生同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。在这个问题中，事件A发生的概率为P(B)，事件B发生的概率为P(A)，所以P(AB) = P(B) * P(A)。从给出的图片中可以看出，事件A发生的情况和事件B发生的情况的数量比为1:4，因此事件B发生的概率为4/5，所以事件A发生的概率为4/5除以5/6，即0.6。因此，正确答案是B：0.6。'
A:100 B:0.1 C:10 D:0.01
AI参考:正确答案是D：0.01。指数分布的方差是σ²=λ²/2，其中λ是参数，因此这个参数的方差就是0.01。所以答案为D。'
A:P(5) B:P(2) C:P(4) D:P(3)
AI参考:正确答案是D:P(3)。根据题意，随机变量X服从二项分布，且与X独立的事件数为3，因此答案为D。解析：由题意可知，随机变量X服从二项分布，即X～B(n,p)，其中n为独立事件数，p为每次事件发生的概率。已知事件数为3，且与X独立，因此可知X服从二项分布B(3,p)。又因为随机变量服从二项分布的期望E(X) = np和方差D(X) = np(1 - p)，而由题意可知X服从二项分布B(3,p)，所以可得到E(X) = 3p和D(X) = 3p(1 - p)，由此可以求得概率值。所以答案为D。'
A: B:时，密度函数时下凸的形函数。 C:时，密度函数是上凸的单峰函数。 D:
A: B: C:g(x)是直线上的连续函数 D:
AI参考:正确选项为C：g(x)是直线上的连续函数。题目中给出了三个
A:随机事件A发生的可能性大小称为概率 B:如果事件函数P(A)满足非负性公理、规范性公理和可列可加性公理，则称P(A)为事件A的概率。 C:随机事件A发生称为概率 D:随机事件A的大小称为概率
AI参考:正确选项为：A:随机事件A发生的可能性大小称为概率；B:如果事件函数P(A)满足非负性公理、规范性公理和可列可加性公理，则称P(A)为事件A的概率。解释：A选项描述了概率的基本定义，即随机事件A发生的可能性大小被称为概率。这是概率论中最基本、最广泛接受的定义。B选项是对概率的一个更精确的定义，强调了概率函数P(A)的性质，包括非负性公理、规范性公理和可列可加性公理，这些性质是用来确保概率函数的合理性和有效性。C和D选项则是对概率的描述，但没有给出明确的定义，也没有给出明确的数学含义。因此，这两个选项不是正确的定义。'
A:AB={1,3} B:A∪B={1,3,5} C:A∪B={1,2,3,5} D:AB={1}
AI参考:正确选项是【C:A∪B={1,2,3,5}】解释：A={1,3,5}，B={点数不超过3}，所以A∪B={1,2,3,5}。因此，选项C是正确的。选项A和D都只包含了A集合中的元素，而忽略了B集合中的元素，所以是错误的。选项B包含了A和B两个集合的所有元素，但是题目中只要求选择一个正确的选项。'
A:的密度函数为： B:的密度函数为： C:的密度函数为： D:的密度函数为：
AI参考:正确答案是：D:的密度函数为： 。已知随机变量X与Y相互独立，且分别服从区间(0，1)与(0，2)上的均匀分布，因此A的密度函数为f(x)=，B的密度函数为f(y)=，C的密度函数为f(x,y)=f(x)f(y)=，D的密度函数为f(x,y)=f(x)f(y)=，故选D。'
A:对 B:错
AI参考:正确答案是B：错。变异系数是标准差与平均数的比值，用来衡量一组数据的离散程度。题目中只给出了随机变量X在[0,2]区间上的概率分布，没有给出平均数，因此无法求出变异系数。所以，该题是错误的。'
A:错 B:对
A:错 B:对
AI参考:B:对。当α→+∞时，随机变量X按分布收敛于Ga(α,λ)。这是因为随着α的增大，正态变量的均值和方差将趋向于λ，符合高斯分布的特性。因此，答案为B：对。'
A:错 B:对
A:错 B:对
A:对 B:错
AI参考:正确答案是B：错。根据题意，随机变量X与Y的均值和方差之间没有直接关系，因此它们之间不是相互独立的。如果两个随机变量相互独立，那么它们的均值和方差之间没有关系。因此，本题判断错误。'
A:对 B:错
AI参考:答案是A。根据集合的运算规则，事件(A∪B)表示的是A和B的并集，而-B表示的是B的补集。因此，(A∪B)-B实际上就是A本身，因为在B的补集里，B不存在，因此(A∪B)-B=A成立。所以答案是A。'
A:错 B:对
AI参考:正确答案是B：对。根据题意，随机变量X与Y相互独立，因此它们的概率乘积为常数，即f(x)f(y)=常数。又因为X与Z相互独立，所以f(x)f(z)也是常数。因此，密度函数fz(z)可以表示为f(x)f(z)/f(x)f(y)。将已知的密度函数代入计算即可得到答案。因此，本题选择B选项。'
A:错 B:对
A:错 B:对
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