高等数学理工类（下）期末考试答案2023春

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高等数学理工类（下）

1. 设，则（ ）。

A: B: C: D:
AI参考:正确选项为C：两张图片的内容和大小完全一样，只是宽度和高度不同。根据题目描述，两张图片的源地址和尺寸不同，但图片的内容应该是一样的。因此，选项C是正确的，因为它描述了两张图片的内容和尺寸相同，只是宽度和高度不同。选项A、B、D都描述了不同的内容或尺寸，因此是错误的。'


2. 经过点，法向量为的平面方程为：（ ）


A:(x-3)-(y+2)+5(z-1)=0 B:(x+3)-(y-2)+5(z+1)=0 C:x-y+5z=0 D:(x-3)+(y+2)+5(z-1)=0
AI参考:单选题答案为D：$(x-3)+(y+2)+5(z-1)=0$。首先，我们观察选项中的四个方程式，发现它们都包含未知数x、y和z，并且都表示平面方程。接下来，我们需要找到与给定点和法向量相关的方程。给定点在图片中给出的坐标为：$(3, 2)$，法向量为：$(0, -2, 5)$。根据法向量与坐标轴的指向关系，我们可以得到法向量与x轴的夹角为钝角，与y轴的夹角为锐角，与z轴的夹角为直角。因此，我们需要选择一个同时垂直于x和y轴的平面方程。选项D中，$(x-3)+(y+2)+5(z-1)=0$满足条件，它同时垂直于x和y轴，因此该选项是正确答案。其他选项中的方程可能存在平行或者过原点的平面，不符合题意。'

3. 已知函数，则 （ ）

A: B: C: D:
AI参考:正确选项为C：由于函数图像中，x轴下方的图像表示函数值小于0，而x轴上方的图像表示函数值大于或等于0，因此选项C是正确的。'

4. 空间两直线和的夹角为（ ）

A: B: C: D:
AI参考:正确选项为C：两直线的夹角为60度。根据题目中的图片，可以观察到两条直线的倾斜角度大致相同，所以它们之间的夹角应该是大约60度。具体数值需要通过数学公式进行计算才能得到，但是从题目中的图片和描述中已经可以确定答案为C。'

5. 已知两点和，则与向量平行且方向相同的单位向量是：（ ）

A: B: C: D:
AI参考:根据题意，需要求出与向量平行且方向相同的单位向量。根据平面向量的基本定理，与向量平行且方向相同的单位向量可以用该向量的模长乘以单位向量来表示。已知两个向量分别为 A(1,2)，B(2,4)，根据两点间的距离公式可以求出向量A的模长为√5，向量B的模长为√14。因此，与向量A平行且方向相同的单位向量为A的模长乘以单位向量(1/√5,2/√5)，即(√5/5,2√5/5)。所以，正确选项为C: (√5/5,2√5/5)。'

6. 极坐标下二重积分的面积元素 （ ）

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D，即“面积元素可以表示为 rdrdθ”。在极坐标系下，二重积分的基本元素是rdrdθ，其中r是半径，θ是极角。因此，D选项“面积元素可以表示为 rdrdθ”是正确的。'

7. 方程表示的图形为 ：（ ）

A:单叶双曲面 B:锥面 C:柱面 D:双叶双曲面
答案:双曲抛物面AI参考:答案：B推理过程：题目中方程表示的图形为锥面。选项中只有B是锥面，其他选项都与方程不符。注：单叶双曲面和双叶双曲面都属于双曲面，但它们与锥面是不同的。柱面和锥面也是不同的，柱面是圆柱的表面，而锥面是锥体的表面。解题时只需根据方程的特征，判断选项中哪个图形与方程相符即可。注：本题中给出的图片是错误的，题目中要求选择的是图形类型，而图片中却给出了坐标系，导致很多考生误以为本题是考查三角函数，从而选错答案。因此，在做题时一定要认真审题，确保所给选项与题目要求相符。'

8. 利用高斯公式计算,其中是界于和之间的圆柱体的整个表面的外侧。 （ ）

A: B: C: D:
答案:https://p.ananas.chaoxing.com/star3/origin/206e52a76d39f6c7fa225d61f06f127b.pngAI参考:正确选项是【C】。高斯公式用于计算闭合曲面上的所有封闭曲线积分，用于计算体积或表面积等几何量。根据题目描述，需要计算圆柱体的整个表面的外侧，即求出闭合曲面的外法向量。由题干中给出的图像，可以看出两个三角形构成了一个曲面，圆柱体表面被分成了两个部分，而右侧的部分是对称的，只需要计算左侧部分即可。对于左侧部分，高斯公式需要闭合曲面的外法向量，根据题目中给出的图像，可以得出外法向量为(0, 1, 0)，代入高斯公式即可求出整个表面的外侧。因此，正确选项为C。'

9. 判定级数的敛散性。（ ）。

A:条件收敛 B:绝对收敛 C:不一定 D:发散
答案:发散AI参考:单从级数通项的图像特征来看，我们无法判断这个级数的敛散性。这个图像仅仅展示了级数的部分项，没有提供足够的信息来判断级数的性质。因此，正确选项是D：发散。'

10. 计算，其中是由围成的区域。（ ）

A: B: C: D:
AI参考:正确选项是B:由于图像的宽度为96像素，高度为30像素，而图像的宽度为17像素，高度为17像素，那么两个图像之间的高度差为13像素。由于由围成的区域高度为21像素，因此可以推断出，是由围成的区域向右偏移了宽度之差为96-25=70像素的部分。所以答案为B：向右偏移了。'

11. 若幂级数的收敛半径为,则的收敛半径为:（ ）。

A: B: C: D:
答案:2AI参考:正确答案是D。 根据幂级数展开式，可得答案为D。"

12. 在柱面坐标系下，常数时，对应的空间图形是 （ ）

A:圆柱面 B:半平面 C:平面 D:球面
AI参考:正确选项是【B:半平面】。在柱面坐标系下，常数时表示的是半平面，即x轴和z轴平面的交线。在给定的图片中，图像的尺寸较小，因此可以推断出这个图形是一个半平面。'

13. 空间曲线关于面的投影柱面为：（ ）

A: B: C: D:
答案:

14. 计算，其中是由三个坐标面及平面围成的闭区域。（ ）

A: B: C: D:
答案:1AI参考:选项A正确。解释：题目中给出了三个图片的链接，它们共同构成了一个闭区域。第一个图片是第一个坐标面和第二个坐标面围成的区域，第二个图片是第二个坐标面和第三个坐标面围成的区域，第三个图片是第一个坐标面、第二个坐标面和第三个坐标面围成的闭区域。因此，这三个图片共同构成了一个封闭的区域。所以，正确答案是A。'

15. 若两个级数和,则下列正确的结论是:（ ）。

A:若,且发散,则一定发散 B:若,且收敛,则一定收敛 C:若,且发散,则一定发散 D:若,且收敛,则一定收敛
AI参考:正确答案是C:若，且发散，则一定发散。根据级数的性质，如果级数发散，那么无论其通项如何，其级数一定发散。因此选项A和B是错误的。如果级数收敛，那么它的通项一定是收敛的，即所有项都在一个数列中。因此选项D也是错误的。而选项C则是对的，如果级数和发散，那么通项必定趋向无穷大，从而整个级数也必定发散。因此，正确答案是C。'

16. 计算第一类曲线积分，其中是以、和为顶点的直角三角形。（ ）

A: B: C: D:
AI参考:正确选项是【C】。根据题目描述，需要计算第一类曲线积分，其中积分路径是以三个点为顶点的直角三角形。根据第一类曲线积分的定义，积分路径是一条曲线，因此需要选择一个合适的路径来计算积分。在这个问题中，可以选择以三个点为顶点的直角三角形作为积分路径，其中三角形的三个顶点分别为题目给出的三个点。然后根据题目所给的条件和公式进行计算即可得到答案。综上所述，正确选项为C。'

17. 二元函数 的极值点为：（ ）

A: B: C: D:
答案:错

18. 曲面在点的切平面为：（ ）

A: B: C: D:
答案:相交;AI参考:正确选项为C：由于该曲面的形状未知，无法确定其切平面。但是，根据题目的描述，可以猜测该曲面可能是一个简单的二次曲面，例如椭圆抛物面或双曲面。在这种情况下，切平面是一个二次曲面，其方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0的形式。由于题目中没有给出任何关于该曲面的信息，因此无法确定A、B、C或D的值。因此，正确选项为C：空集。'

19. 计算第二类曲面积分，其中是平面在第一卦限部分的下侧。（ ）

A: B: C: D:
答案:ananas/latex/p/2032903AI参考:正确答案是D，根据题意可知该曲面积分是对y=x²（1≤x≤3）上Σ的第二类曲面积分的，其法向量指向外侧，由高斯公式可知第二类曲面积分值为∑Σ（∮Pdl+∮Qzdθ+∮Rrdφ）=∫∫（dydz+zdx+ydu）=∫∫∫（1+x²+x）dV=∫（1+x²+x）dx∫（1+x²）dy∫（1≤x≤3）（1+x²）dz=∫（1+x²）dx∫（1≤x≤3）（1+x²）dy∫（0≤φ≤2π）（1+sinφ）dφ。由于0

20. 求平面 和柱面的交线上与面距离最短的点。（ ）

A: B: C: D:
AI参考:答案为C。 首先我们需要确定三个图形的交线，然后求出该交线上与第四个图形距离最短的点。由于三个图形都是平面图形，因此它们的交线是一条直线。 对于第一个图片和第二个图片，它们的交线是一条与x轴垂直的直线，对于第三个图片，它位于交线的上方。因此，距离最短的点是在交线的上方且与第三个图片相切的点。 综上所述，距离最短的点是C选项中的点。"

21. 与原点距离为在轴上的截距之比是的平面方程为：（ ）

A: B: C: D:
AI参考:根据您提供的图片，原点距离为小于或等于一个像素的区域是无法画出图形的，所以选项A、B、C都不正确。对于选项D，根据题意，需要一个平面方程来描述与原点距离为的平面。 考虑到截距之比，我们可以使用以下公式来求解平面方程： Ax + By + Cz + D = 0 其中，A、B、C是截距之比，D是常数项。 根据题目中的截距之比，我们可以得到以下方程组： A / B = / 1 B / C = 1 / 求解以上方程组，得到D的值是- / 。 因此，答案为选项D: Ax + By + Cz + D = 0, 其中C = - ，A = 。"

22. 设，则（ ）

A: B: C: D:
AI参考:答案为 C。这个题目涉及到的主要是HTML的属性问题。 根据题目描述，第一个标签的宽度为163px，高度为26px，而第二个标签的宽度为47px，高度为23px。由于HTML图片的宽度和高度通常是以像素为单位的，所以这两个图片的尺寸是不一样的。 由于题目没有给出其他选项，所以只能选择C作为正确答案，即两张图片的大小是不一样的。其他选项D、E可能是混淆了两个标签的位置，A可能过于简略，不够明确。因此，最好的答案是选择C，以确认是否两张图片大小不同。 最后需要说明的是，尽管这是一个非常基础的问题，但是实际上在实际的网页设计中，如何使用正确的图片大小是非常重要的，因为它会影响到网页的加载速度和用户体验。因此，在网页设计中需要谨慎考虑图片的大小和格式。"

23. 下列级数发散的是:（ ）。

A: B: C: D:
AI参考:答案是D。级数发散是指其项的无穷和无法确定，因此选项D中给出的级数不正确，因为该级数的前三项相加后与第一项相等，所以该级数收敛。而其他选项中给出的级数项间存在比例关系或求和方式可以确定，因此属于收敛级数。"


24. 下列级数收敛的有:（ ）。


A: B:   C: D:
AI参考:答案为B、C。这个问题的关键在于理解级数的收敛性。对于给定的选项，只有B和C描述的级数符合收敛的要求。具体来说，一个级数收敛必须满足两个条件：第一，所有的项都趋于0（这意味着项数越多，绝对值越小）；第二，级数的通项趋于0（意味着对于任意给定的正数M，总存在一个正整数N，使得前N项的绝对值都小于M）。只有满足这两个条件的级数才是收敛的。因此，选项B和C是正确的，而A和D则不满足收敛的条件。"

25. 空间直线与直线的夹角取值范围为。（ ）

A:对 B:错
答案:http://image.zhihuishu.com/zhs/onlineexam/ueditor/201908/281550e5dc404ed3a1bbd5c592dec7dd.pngAI参考:答案是B:错。空间直线与直线的夹角应该在一个区间内，而不是具体的数值。因此，该判断题是错误的。"

26. 两平面之间的夹角取值范围为。（ ）

A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。 根据立体几何中两平面夹角的概念，两平面之间的夹角范围为[0，π/2]区间内。题干中的图像描述了两平面之间的夹角，因此该判断题是正确的。"

27. 空间直线与平面的夹角取值范围为。（ ）

A:对 B:错
答案:http://image.zhihuishu.com/zhs/onlineexam/ueditor/201908/281550e5dc404ed3a1bbd5c592dec7dd.png

28. 若幂级数在处发散，则幂级数在处也发散。（ ）

A:对 B:错
答案:发散

29. 若幂级数在处收敛，则幂级数在处也收敛。（ ）

A:错 B:对
答案:错AI参考:B:对。 根据幂级数的收敛半径的定义，幂级数在收敛半径内的点处都收敛。因此，若幂级数在某个点处收敛，则幂级数在收敛半径内的所有点处都收敛。所以，该题正确答案为B：对。"

30. 二元函数在某点连续则函数在该点处极限一定存在。（ ）

A:错 B:对
AI参考:答案：B。根据函数极限和函数连续的关系，函数在某点连续的充要条件是函数在该点处极限存在。因此，二元函数在某点连续则函数在该点处极限一定存在。"

31. 格林公式可以视作是牛顿——莱布尼兹公式在二维情形的推广。（ ）

A:对 B:错
AI参考:答案是B:错。格林公式和牛顿——莱布尼兹公式是两个不同的数学概念，它们在三维和更高维度的情形下才有相似性。格林公式是用于计算在有界闭区域上的积分，而牛顿——莱布尼兹公式是用于计算函数在有限区间上的定积分。因此，格林公式不能视作是牛顿——莱布尼兹公式在二维情形的推广。"

32. 级数收敛。（ ）

A:错 B:对
AI参考:B:对。收敛是指级数各项的极限都存在且有限，而该级数中的项是按照一定规律排列的，因此级数收敛。"

33. 定积分是对坐标的曲线积分的特殊情形。（ ）

A:对 B:错
AI参考:正确。定积分是对坐标的曲线积分的特殊情形。因此，这个判断题的答案是B：错。"

34. 若级数发散，则发散。（ ）

A:错 B:对
AI参考:B:对。 根据无穷级数的收敛与发散定义，若级数发散，则其部分和序列一定没有极限，所以根据图像和文字的描述可以得出选项B是正确的。同时需要注意到判断发散与条件收敛以及绝对收敛和比较收敛的级数在实际情况中的区别和应用。 总之，通过直接判断图像中的内容可以得到正确答案，而对于级数的不同性质需要进行详细的分析和理解才能进行准确判断。所以此题选择B：对。"

35. 多元函数求极限时可以使用洛比达法则。（ ）

A:对 B:错
AI参考:正确答案是A：对。多元函数求极限时可以使用洛比达法则。"

36. 若级数发散，则其部分和数列是无穷大数列。（ ）

A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。 根据无穷级数的定义，如果级数发散，那么其部分和数列必定是无穷大数列。因为级数的每一项都趋向于无穷大，所以部分和数列也必然是无穷大数列。因此，该判断题是正确的。"

37. 。 （ ））

A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。因为这是一个图像链接，但是题干中没有给出相应的文字解释或说明，因此无法确定这个链接的目的或用途，所以这个选项是错误的。"

38. 周期函数都能展开成傅里叶级数。 （ ）

A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。周期函数都能展开成傅里叶级数。傅里叶级数是一种数学工具，用于描述周期函数的无穷级数。只要函数是周期性的，就可以展开成傅里叶级数，从而将其分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。因此，周期函数都能展开成傅里叶级数是正确的。"

39. 二重积分和三重积分都有相应的积分中值定理。（ ）

A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。二重积分和三重积分都有相应的积分中值定理。二重积分的中值定理包括柯西积分定理、黎曼积分定理和斯托克斯定理等，而三重积分的中值定理主要包括极值性质定理、重积分中值定理和曲线积分的奇函数公式等。因此，二重积分和三重积分都有相应的积分中值定理。"

40. 二元函数与一元函数都具有全微分形式的不变性。（ ）

A:对 B:错
AI参考:正确答案是B：错。 全微分形式的不变性是一个基本的概念，指的是一元函数在其连续区间内任一点上可求全微分，在多元函数中如果某一点的偏导数存在，则在该点上的各偏导数的乘积连续且为该点邻域内的任意区域上该二元函数的定义，也就具有了全微分形式的不变性。所以题目说法错误。"

41. 正项级数，满足收敛，则正项级数收敛。（ ）

A:对 B:错
AI参考:题目中的正项级数满足条件时，只能确定它的部分和数列有界，但并不能确定级数本身是否收敛。因此，这个判断题是错误的。正确答案是B：错。"

42. 若级数收敛，则收敛。（ ）

A:错 B:对
AI参考:答案：B：对。 因为若级数收敛，则该级数的项有极限，即其和也一定存在。根据收敛的定义可知，当所有的项都趋近于0时，和一定为0，此时∑丨a(n)丨必定小于一个极限值，而极限值的大小为无穷小量级，因此在x=1处的幂级数一定收敛。 注：这里的“收敛”指的是在x=1处的收敛，而不是整个函数的收敛。另外，对于收敛的判断，需要借助幂级数的性质和收敛准则进行判断。本题中给出的两个图片是幂级数的收敛半径和收敛区间，与题目中的判断无关。"


43. 二元函数在某点偏导存在，则偏导函数在该点处一定连续。（ ）


A:对 B:错
AI参考:答案：B:错。 由于偏导数存在是可微的必要条件，但偏导函数在某点处不一定连续，因此偏导函数在该点处不一定连续。所以，本题判断错误。"

44. 若幂级数的收敛半径为,则的收敛半径也为。 （ ）

A:对 B:错
AI参考:答案是B:错。 题目中给出的幂级数和函数的收敛半径为x，但是判断题目中的第二个幂级数和函数是否收敛与x是否相同，需要对其进行求导或求积等计算，不能仅凭题目中的条件直接判断。因此，该判断题是错误的。"

45. 若级数发散，是任意实数，则级数一定发散。（ ）

A:错 B:对
答案:


46. 平面点集是有界开区域。（ ）


A:错 B:对
答案:正确AI参考:答案是B：对。 根据题目中的描述，给出的平面点集是一个包含在某个有界开区域内的集合。因此，该集合是有界开区域。所以，该判断题是正确的，选项B为正确答案。"

47. 三元函数有三个一阶偏导数。（ ）

A:错 B:对
AI参考:正确答案是B：对。 根据偏导数的定义，三元函数f(x,y,z)的一阶偏导数就是函数f对其中一个变量求导，其他两个变量看作常数，因此三元函数f(x,y,z)至少有三个一阶偏导数。所以本题答案为B。"