通识拓扑学精要期末答案2023秋

1.

实数空间 中的不少于两点的连通子集 为（ ）。

A:闭区间 B:区间 C:开区间 D:空集
答案:AI参考:正确选项是C:开区间。\n\n实数空间中的不少于两点的连通子集可以是开区间、闭区间或区间。其中，开区间是不含端点的连通子集，符合题意。而闭区间和区间的概念与此处的题目描述并不符合，空集则是只有一个元素，也不符合题目中的“不少于两点”。因此，正确答案是C：开区间。'
2.

设 是一个拓扑空间，若对于 ，均有 ，则 是（ ）。

A:空集 B: 空间 C: 空间 D: 空间
答案:AI参考:答案：C\n推理过程：\n根据拓扑空间的定义，若对于集合中的任意点，均有包含它的开集，则该集合为拓扑空间。\n由于题目中给出的图片是拓扑空间，且对于给出的图片中的任意点，均有包含它的开集，所以给出的图片是一个拓扑空间。\n由于给出的图片中包含了题目中给出的三个点，所以这三个点也属于该拓扑空间。\n由于题目中给出了对于任意给定的图片，其包含的点均属于该拓扑空间，所以对于给出的图片中的任意点，也属于该拓扑空间。\n所以对于题目中给出的第四个点，其属于该拓扑空间。\n综上所述，答案为C。'
3.设 是实数空间， 是整数集，则 的子空间的拓扑为（ ）。
A: B: C: D:幂集
答案:AI参考:答案是D：幂集。\n根据题目描述， 是实数空间， 是整数集，所以 是整数集的子空间。\n\n幂集是整数集的子空间的拓扑，因为对于整数集中的任意集合，都可以表示为幂集的形式，并且幂集是整数集的子空间的拓扑。\n\n因此，答案是D：幂集。'
4.设 是度量空间（ ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ ）。
A:对 ，且有 ，则 为 中的一个开集 B: 当且仅当 C: 当且仅当 D: 当且仅当
答案:AI参考:根据题目中的条件，度量空间中的两个图像链接是两个非空子集，并且它们之间的距离小于给定的宽度值。选项A表示如果两个图像之间的距离小于给定的宽度值，那么它们所在的集合就是开集。这个命题是正确的。选项B、C和D都涉及到两个图像之间的某种等价关系，但并没有给出明确的定义或条件，因此无法确定其正确性。因此，正确答案是B、当且仅当 。'
5.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）。
A:第一可数性公理 B:平庸性 C:连通性 D:离散性
答案:AI参考:在拓扑学中，对于任意两个集合X、Y，以及集合中所有点的等价类（相同点），通常都会作为一个集合进行考察，这就被称为集合的可遗传性或遗传性。拓扑的四种性质（连续性、连通性、闭合性和边界性）都是可以遗传的。\n\nA选项，第一可数性公理也被称作T0公理，它可以确保我们可以通过划分并覆盖整个空间中的每个子空间（或者说连通区域）的方式，把所有可数并集和所有并集之间的包含关系全部描述出来。也就是说，这个性质是可遗传的。\n\nB选项，平庸性指的是拓扑空间可以包含无穷多个开集，而且每个开集都可以通过有限个点形成的邻域来定义。这种性质在连续映射中起着重要的作用，所以也是可遗传的。\n\nC选项，连通性指的是在拓扑空间中，如果两点X和Y之间存在一条路径，那么它们就可以被视为同一。这种性质在计算拓扑空间的性质时非常重要，因此也是可遗传的。\n\nD选项，离散性是指拓扑空间中的点集可以被看作是离散的。换句话说，一个拓扑空间中的点可以被看作是孤立的点或者可以视为有限个点的并集。但是此性质不会在映射中产生遗传效果，因为它只是关于空间性质的陈述，而非关于映射关系的描述。\n\n所以不具有可遗传性的是D：离散性。'
6.设 是一个拓扑空间， 是 的子集，则下列关系中错误的是（ ）。
A: B: C: D:
答案:AI参考:答案是C。\n\n拓扑空间中，集合B是A的子集，如果B中的所有点都属于A，或者说A中每个开集包含在B的开集中。在这个问题中，第一个图片是一个拓扑空间，第二个图片是第一个图片的一个子集。从拓扑的角度来看，我们可以知道两个图片都是一个有界集。而如果B是一个开集（包含于另一个集合的开集中），那么A应该是包含在B的拓扑之下，也就是说B应该包含在A的开集中。但是题目中给出的信息并没有表明第二个图片是第一个图片的开集，所以选项C是错误的。\n\n因此，正确答案是C。'
7.设 为拓扑空间 的连通子集， 为 的子集，若 ，则 为（ ）。
A:连通子集 B:开集 C:不连通子集 D:闭集
答案:AI参考:答案：C\n推理过程：\n由于和分别为拓扑空间的连通子集和开集，且是拓扑空间的子集，因此必定是不连通子集。故本题答案为C。\n选项A和B都不能保证原拓扑空间的连通性；选项D并不能直接确定。故此，选择C为正确答案。'
8.设 是一个拓扑空间，若 的每一个有限子集都是闭集，则 是（ ）。
A:正规空间 B: 空间 C: 空间 D:正则空间
答案:AI参考:答案：D\n推理过程：\n由题意可知，拓扑空间X的每一个有限子集都是闭集，所以X是正则空间。\n又因为是拓扑空间X的子集，所以也是正则空间。'
9.

实数空间（ ）。

A:既满足第一又满足第二可数性公理 B:仅满足第一可数性公理 C:既不满足第一又不满足第二可数性公理 D:仅满足第二可数性公理
答案:AI参考:正确选项是【B:仅满足第一可数性公理】。\n\n实数空间仅满足第一可数性公理，因为对于任何给定的点，它可以由任意一个或两个集合来表示。但是它不满足第二可数性公理，因为它不能使用已知的可数数列来估计无限点的极限值。在题目描述中，“实数空间”这个集合是不连续点组成的集合，其中任意一个点都属于两个不可数的子集中的一个，这也就意味着它只满足第一可数性公理。'
10.下列曲面中，是闭曲面的是（ ）。
A: B: 带 C: D:平环
答案:AI参考:正确答案是D：平环。\n本题考查的是曲面的基本知识。在给定的四个选项中，只有D项平环是闭曲面，其他选项都是开曲面。因此，正确答案是D。'
11.

[0,1]空间作为通常实数空间 的子空间，以下是其上闭集的是 （ ）。

A: B: . C: D: 12.下列有关命题，正确的是（ ）。
A:若拓扑空间 是局部连通的，则 一定是道路连通的 B:若拓扑空间 是连通的，则 一定是局部连通的 C:若拓扑空间 是连通的，则 一定是道路连通的 D:若拓扑空间 是道路连通的，则 一定是连通的 13.拓扑空间 的任何一个有限子集都是（ ）。
A:紧致子集 B:开集 C:连通子集 D:非紧致子集 14.沿边界，将 带与 粘合在一起，商空间是（ ）。
A: B: C: D: 15.

整数集 是实数空间 的一个（ ）。

A:连通子集 B:并集 C:不连通子集 D:开集 16. 下列说法正确的是（ ）。
A:从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 B:实数空间R中给定如下等价关系： 或者 或者 ,则这个等价关系下得到的商集可以记作 C:从拓扑空间 到平庸空间 的任何映射都是连续映射 D:连续映射的复合未必是连续映射 17.设 和 是两个拓扑空间，商映射 需要满足的条件是（ ）。
A: 是开映射 B: 是满射 C: 是单射 D: 连续 18.下列说法错误的是（ ）。
A:同胚映射是连续映射 B:逆映射连续的映射也是连续映射 C:连续映射的逆映射是连续映射 D:常值映射是连续映射 19.下列拓扑空间是紧致空间的有（ ）。
A:开区间 B:单位球面 C:闭区间 D:单叶双曲面 20.设 ，其中 被赋予欧氏拓扑，下列说法中正确的是（ ）。
A: B: C: D: 21.拓扑空间中在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念，下列属于拓扑概念的有（ ）。
A:闭包 B:内部 C:闭集 D:开集 22. 下列语句正确的为（ ） 。
A:交的补等于补的并 B:集族是指以集合为元素的集合 C:并的补等于补的并 D:从全集中差掉一个集合就得到这个集合的补集 23.对于映射 ，集合 ，下列说法中正确的是（ ）。
A: B: C: D: 24.

下列论断不正确的是 （ ）。

A:闭曲面的标准多边形表示中没有同向对时，结果一定是 型的，否则是 型的 B:除球面外，任一闭曲面都有标准表示 C:存在紧致曲面没有二维有限三角形剖分 D:任一闭曲面都有标准多边形表示 25.下列结论正确的是 （ ）。
A:设 是集合 的两个拓扑，则 不一定是集合 的拓扑 B:第一可数性和第二可数性都是拓扑不变性质 C:可数余拓扑空间中任意两个非空开集必相交 D:从离散空间到任何一个拓扑空间的任何映射都是连续映射 26.下面是闭曲面的是（ ）。
A:克莱因瓶 B:安交叉帽的球面 C:射影平面 D:安环柄的球面 27.

拓扑学的应用领域包括哪些（ ）。

A:生物 B:化学 C:物理 D:拓扑数据处理 28.

下列性质属于拓扑性质的是（ ）。

A:分离性 B:紧致性 C:可数性 D:连通性 29.设拓扑空间之间的映射 在 处连续。当 是 的开邻域时， 可能不是 的开邻域。（ ）
A:错 B:对 30.拓扑空间 的任何开覆盖都有有限子覆盖。（ ）
A:正确 B:错误 31.设 为 拓扑空间， 为 中紧致子集。若 且 的每个邻域都与 有公共点，则必有 。（ ）
A:错误 B:正确 32.设 是拓扑空间 和 的乘积空间。当 是紧致空间时，可能存在 使得 作为 的子空间不是紧致空间。（ ）
A:错误 B:正确 33.设 是拓扑空间 和 的乘积空间， 为 中子集， 。若 是 中开集，则 是 中开集。（ ）
A:错误 B:正确 34.集族 构成了拓扑空间 的一个拓扑基。（ ）
A:正确 B:错误 35.设 是拓扑空间 和 的乘积空间。若 是可分空间，则对于任意 都有 作为 的子空间是可分空间。（ ）
A:错误 B:正确 36.列紧拓扑空间上的连续函数满足最值性，但紧致拓扑空间上的连续函数只满足有界性、不一定满足最值性。（ ）
A:错误 B:正确 37.拓扑空间 不连通，当且仅当存在 中既开又闭的非空子集。（ ）
A:正确 B:错误 38.设 是拓扑空间 和 的乘积空间。则对于 中任意点，都存在 中的开集 和 中的开集，使得 是该点在 中的开邻域。（ ）
A:错误 B:正确 39.设 为拓扑空间 的稠密子集。若 作为 的子空间道路连通，则 一定也道路连通。（ ）
A:错误 B:正确 40.拓扑空间中无限多个开集的并集一定还是开集。（ ）
A:正确 B:错误 41.设 为拓扑空间 的稠密子集。若 作为 的子空间连通，则 一定也连通。（ ）
A:对 B:错 42.集族 是非空集合 的拓扑基当且仅当如下条件 (1) 和 (2) 都成立：(1)、 ；(2)、对任意 都有 。（ ）
A:错误 B:正确 43.拓扑空间中，当点 为子集 的聚点时，可能不存在 中点列收敛于 。（ ）
A:正确 B:错误 44.集族 是欧氏空间 中原点的可数邻域基。（ ）
A:错误 B:正确 45.设 是拓扑空间 的子空间， 是 的非空子集。则 作为 的子空间和作为 的子空间，其拓扑一定是相同的。（ ）
A:正确 B:错误 46.设拓扑空间之间的映射 在 处连续。若 是 的邻域，则 必定是 的邻域。（ ）
A:正确 B:错误 47.拓扑空间中，若点 为子集 的聚点，则必然存在 中点列收敛于 。（ ）
A:正确 B:错误 48.存在满足 公理和 公理但不满足 公理的拓扑空间。（ ）
A:错误 B:正确