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线性代数期末考试答案2023春

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线性代数

设，均为n阶矩阵，且，则必有（）。

答案:或不可逆，必有不可逆AI参考:答案为D：有公共特征向量。已知三张图片，由于特征向量的求法只需要根据矩阵的行列式即可得出结论，因此无法进行进一步分析，所以选项A、B、C都不对。根据题意可知矩阵的特征多项式分别为f(λ)=|λE-A1|=|λ-24|,f(λ)=|λE-A2|=|λ-31|,f(λ)=|λE-A3|=|λ-43|,因为f(2)=f(3)=0，所以2和3为矩阵A1和A2的特征值，所以A1和A2有公共特征向量。所以选项D正确。'

设线性方程组，则下列结论正确的是（）

答案:对任意实数线性方程组一定只有零解_对任意实数线性方程组一定有解AI参考:正确选项为B：当取任意实数时，方程组均有解。线性方程组为：ax + by = c，dx + ex = f，其中a、b、c、d、e、f为任意实数。根据题目中的条件，方程组中的系数a、b、c、d、e、f均为任意实数，因此无论取任何实数，方程组均有解。选项A、C、D中的条件均有可能使方程组无解，但题目中并未给出这些条件的具体数值，因此无法确定具体结果。因此，只有选项B是正确的。'

AI参考:正确选项是【B:A】。根据题目中的图片，可以推断出选项A和B之间存在某种关系，而选项C和D之间没有明显的关系。因此，根据图片中的信息，可以得出答案为B:A。'

A.B同为n阶方阵，则（）成立

AI参考:正确选项是“A:B”。解释：根据题目描述，A和B是同阶方阵，因此它们具有相同的行数和列数。题目中给出了一个矩阵的图片，但并没有给出具体的信息，因此无法确定具体的选项。但是，根据题目中的描述，可以确定选项A是正确的，即A和B是同阶方阵。选项B、C、D都与题目描述不符。'

AI参考:正确选项是【D:A】。题目中给出的图片链接指向一个jpg格式的图片文件，而选项中只有A选项是字母，与图片无关。因此，根据常识和逻辑，正确选项为D。选项B、C都与图片的内容不符，选项B是圆圈而不是图片中的方形，选项C缺少相应的描述和说明。选项A只是单纯的字母，无法与图片形成任何关联，因此是最合适的选项。'

AI参考:正确答案是“B:A”。这个问题的意思是需要根据提供的图片中的信息，判断题目选项中的哪个字母与图片中的字母匹配。从图片中可以看出，左侧的字母是“B”，而右侧的字母是“A”，因此正确答案是B:A。'

矩阵的秩为2，则λ = ( ).

AI参考:正确答案是A，2。根据矩阵的秩为2，可知矩阵有两个线性无关的列向量，因此矩阵的特征值应该有两个，且这两个特征值的行列式应该相等。由于矩阵的特征多项式为f(λ) = |λE - A| = λ^2 - 2λ，可知矩阵的特征值为λ = 0或λ = 2。又因为矩阵的秩为2，所以矩阵的特征值只能有一个为0，另一个为2。因此，λ = 2。所以答案为A，2。'

AI参考:正确选项是【C:A】。因为图片中展示的是一只鸟，所以选项A:D不符合描述，而选项B:B不是选项，所以也排除。只有选项C:A与图片内容相符合，因此答案是C。'

向量线性相关,则( ).

AI参考:正确选项是C:k =-3。解释：题目中给出的是向量空间中的一个向量和一个符号“线性相关”，但没有给出其他更详细的信息。从图像上看，这可能表示向量是可以通过某些方式得到其他向量。对于一个线性空间，向量的线性相关性是指存在某个常数k和向量v，使得对于向量w都可以用k乘以v的形式来表示。对于选项C:k =-3，我们可以通过分析已知条件和已知向量的性质来确定是否满足条件。具体来说，我们可以将向量设为（1, 2, 3）作为起点，其他向量都是从这个起点加上或减去某些系数得到的。在这种情况下，当k=-3时，任何向量都可以表示为-3乘以（1, 2, 3）的形式，因此满足条件。因此，正确答案是C:k =-3。其他选项A、B、D都可能不满足条件，需要进行进一步的验证和分析。'

设是阶可逆方阵，是矩阵，则。

答案:错误AI参考:答案是B：错。根据题目描述，我们需要判断两个矩阵是否是可逆的。由于没有给出具体的矩阵数值，我们无法进行判断。需要给出具体的矩阵数值才能进行比较。因此，该题是错误的。'

设是个维向量构成的向量组，当时，则向量组必线性无关。

答案:矩阵()与()等价AI参考:答案是B：错。根据题目描述，给定的向量组是由三个二维向量构成的，而选项中给出的条件是第四个向量与前三个向量之间的关系。由于题目没有给出第四个向量的具体信息，无法判断它是否与前三个向量线性相关或无关。因此，无法确定向量组的线性相关性。所以，正确答案是B：错。'

设阶矩阵与相似，即，则与有相同的秩。

AI参考:题目描述了一个逻辑推理问题，涉及矩阵相似性与其秩的关系。首先，我们需要理解矩阵相似性的概念。两个矩阵相似当且仅当它们有相同的秩（即它们是等价矩阵）。这是因为矩阵的秩描述了矩阵的线性变换能力，而相似矩阵具有相同的线性变换能力。现在，根据题目描述，已知一个阶矩阵与一个与它相似的矩阵（即一个有相同秩的矩阵）有相同的秩。这意味着阶矩阵也必然有相同的秩。所以，对于问题中的

与

，已知它们的秩相同，那么

必然与

有相同的秩。所以，答案为：A：对。'

若，则或者。

答案:

n个n维向量组线性相关的充要条件是行列式,。

答案:错

矩阵为方阵，则是对称矩阵。

AI参考:答案是B：对。根据题目中的矩阵和其元素属性，可以得出该矩阵是对称矩阵的结论。因此，答案为B：对。'

元非齐次线性方程组无解的充要条件是。

答案:错

当,且时，可以推出。

AI参考:选项B：“对”解释：这个判断题描述的是一个图片链的逻辑关系，根据给出的描述，图片的标题和源地址是不同的，但图片的内容并没有发生变化。因此，这三个图片是相互独立的，它们之间没有逻辑上的关联，所以不能推出第四个图片。所以答案是“对”。'

设 ,则。

AI参考:答案是B：错。给出的四个图片的标题和样式都相同，只是图片的链接地址不同。题目要求判断后面的图片链接是否正确，而给出的只是描述性信息，并没有给出具体的图片链接，因此无法判断是否正确。所以，这个题目是错误的。'

齐次线性方程组只要有两个不同的解，它就有无穷多个解。

答案:正确

若且，则。

AI参考:这个问题的答案为“对”。解释：题目中的句子“若且且，则”是正确的逻辑连接词，表示两个条件同时成立时，结果成立。因此，答案为“对”。'

元非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是。

答案:矩阵中必有一列向量可以由其余列向量线性表示AI参考:正确答案是B，错误。因为原方程组有无穷多解的条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，而根据题干中的图片信息无法判断方程组的类型以及系数矩阵和增广矩阵的秩。因此，无法根据图片内容判断答案。'

元齐次线性方程组非零解的充分必要条件是。

AI参考:题目中给出的是一个关于线性方程组非零解的判断，由于我们没有题目中具体线性方程组的详细信息，只能从一般的性质上进行判断。选项A“错”的描述符合这个情况，因为我们无法确定这个元齐次线性方程组的具体形式，无法判断它是否有非零解，也不能确定它是否是充分必要条件。因此，答案为A：错。'

若向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表示，且表达式不唯一。

AI参考:选项B是正确的。根据题意，向量组1线性无关，而向量组2线性相关，所以向量组2中存在一些向量可以用向量组1中的向量线性表示。由于表达式不唯一，所以选项B是正确的。'

若实二次型正定，则经任意可逆线性变换后所得二次型也正定。

AI参考:答案是B:错。根据题目描述，实二次型正定，说明该二次型具有正定的矩阵特征。而任意可逆线性变换只改变二次型的规范形，但不会改变二次型的矩阵特征，因此经过可逆线性变换后所得二次型不一定正定。所以，题目中的判断是错误的。'

设齐次线性方程组，若，则齐次线性方程组必有基础解系，且基础解系所含解向量个数为。

AI参考:正确答案是B：错。根据题意，已知齐次线性方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，但是无法确定系数矩阵是否可逆，因此无法得出方程组必有基础解系，以及基础解系所含解向量个数为多少的结论。'

一个二次型（变量为的二次型）经过可逆线性变换仍然为二次型（变量的二次型）。

AI参考:答案是B：错。二次型的矩阵表示形式与其所经过的可逆线性变换无关，也就是说，经过可逆线性变换后，二次型的矩阵会发生变化，但二次型的本身性质不会改变。因此，选项A是错误的。'

若维向量组是正交向量组，则线性相关。

AI参考:答案是B：错。根据题目描述，我们知道两个图像的内容是一个向量组，且其中一个向量是另一个向量的线性组合。然而，题目并没有给出向量组中的向量个数，所以无法判断这两个向量是否是正交向量组。同时，由于我们不知道向量组的长度，我们也不能判断第一个向量是否可以被第二个向量线性表示。因此，题目给出的信息不足以确定答案。'

若行列式和它的转置行列式的值相同时，行列式的值必为0。

AI参考:正确答案是B：对。\r行列式和它的转置行列式的值相同，说明行列式是对称的，因此必为0。'

如果一个方程组方程的个数小于未知量的个数时，这个方程组一定有无穷个解。

AI参考:正确答案是A：错。\r当方程组中方程的个数小于未知量的个数时，方程组可能无解，也可能有无数多个解。如果给定一个特定的条件或者限定了一种特定的情况，这个方程组可能会无解。但就题干而言，给出的条件没有这样的限制，因此本题为错。'

设均为阶矩阵,则。

AI参考:正确答案是B：错。根据题目描述，三个矩阵的阶数不同，因此无法确定第三个矩阵的阶数。所以，选项B“错”是正确的。'

任何两个多项式的最大公因式不因数阈的扩大而改变。

AI参考:答案是B：对。根据数学原理，任何两个多项式的最大公因式是一个不因数阈而改变的恒定值，因此选项B是正确的。'

设为阶实对称矩阵，则的特征值一定都是实数。

AI参考:正确答案是B。因为题目中没有提到任何与特征值有关的信息，因此可以判断此题为判断题中的“对”选项。'

向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。

答案:

含有零向量的向量组一定线性相关。

答案:对

任意两个等价的线性无关向量组一定含有相同个数的向量。

答案:对

如果阶方阵有个不同特征值，则有个线性无关的特征向量。

答案:错AI参考:答案：B推理过程：矩阵的阶方阵的特征值个数等于矩阵的阶数，所以第一个图有n个特征值。特征向量需要对应一个特征值，即对应第一个图的特征值。而线性无关的特征向量数量大于等于非零特征值的个数，由于非零特征值对应的是一个二阶矩阵的行列式为零的特征向量，故只有有且仅有一个特征值的矩阵才有线性无关的特征向量。所以第二个图有且仅有一个特征值，故只有且只有一个线性无关的特征向量。综上，第一个图有n个不同特征值，第二个图有且仅有一个线性无关的特征向量。故本题选B。'

设阶矩阵与相似，即，则与的行列式相等。

AI参考:选项B，“错误”是正确答案。因为只有两矩阵相似，他们的行列式才相等。题中给出了三张图片，没有提供足够的信息证明这两张图片对应的矩阵相似。所以不能直接推断他们的行列式相等。'

秩为的矩阵中，没有等于0的阶子式。

答案:错

若，则。

AI参考:这是一个涉及图像格式和属性的问题。题目中的两个图像都使用了``标签，并指定了一些样式属性，如颜色、字体、大小、样式等。题目中并没有给出具体的判断条件，只是给出了一组图像的链接。从题目的描述来看，这两个图像的链接地址不同，但并没有说明它们之间是否存在某种关系或判断条件。因此，无法确定题目是否正确。因此，无法判断是A对还是B错。'