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计算方法
- 下列哪一项不是利用积分中值定理推导出的积分方法？( )
- 用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初值x满足什么条件，则它的解数列一定收敛到f(x)=0的根（ ）。
- 对于x=[1,2,3],y=[2,3,5.9],则二次牛顿插值多项式中x2的系数为（ ）。
- n=3时的柯特斯系数为（ ）。
- 用二分法求方程的根，若给定精度ε>0后，要使
成立，则k应该满足？（ ） - 用雅可比迭代法求解线性方程组
，迭代初值为（0，0）’，则第一次迭代后x1、x2的值为（ ）。 - 当n＞=（ ）时，柯特斯系数有正有负。
- 拉格朗日插值多项式的余项是（ ）。
- 用1+x近似表示
所产生的误差是什么误差？（ ）。 - 数值计算的效率与______和______有关。（ ）
- 设A=
，试求
的值为（ ）。 - 设求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有什么收敛速度？（ ）。
- 已知x=[1,2,3,4],y=[2.5,3.4,4.1,4.4]，用最小二乘法求形如y=a+blnx的经验公式（ ）。
- 设f(x)在其零点x∗邻近二阶可微,且f'(x∗)≠0,当初值在根附近选取时,Newton法至少是（ ）
18、用后退欧拉法计算下列初值问题，取步长h=0.5，则得到近似值y4为（ ）。
47、 已知某函数y=f(x)的下列数值，试用三点微分公式计算x=2.7处的一阶导数值。（ ）- 求解方程lnx-x+2=0的根的弦截法迭代公式为（ ）
- 设向量x=（1，-3，6）’，则x向量的1-范数为（ ）。
17、用欧拉法计算下列初值问题，取步长h=0.5，则得到近似值y4为（ ）。- 用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组
，迭代初值为（0，0，0）’，则第一次迭代后x3的值为（ ）。 - 如果误差为O(hp+1)，则此种算法的精度为____阶。（ ）
- 已知x=[1,2,4,8,16,32,64]，y=[4.22,4.02,3.85,3.59,3.44,3.02,2.59]
log2y=[2.077,2.007,1.945,1.844,1.782,1.595,1.373]，Σlog2y=12.623，Σlog2xlog2y=34.77，
用最小二乘法求形如y=axb为（ ）。 - 下列选项中，属于梯形公式的误差的是（ ）。
- 已知x=[0,1,2,3],y=[1,9,23,3],建立次数不超过三次的拉格朗日插值多项式为（ ）。
- 求解方程lnx-x+2=0的根的Newton迭代公式为（ ）。
- 用三角分解法解线性方程组
，得到A=LU的形式，则其中U矩阵的第三行第三列元素为（ ）。 - 已知x=[1,2,3],y=[-1,2,1],则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为（ ）。
- 牛顿差分表的口诀是（ ）。
- 已知π=3.1415926…，问以下近似值中具有最多位有效数字的是（ ）。
- 中心差商的公式是（ ）。
- 下列公式哪些属于牛顿—柯特斯公式？（ ）
- 对于f(x)=x3+x+1,（ ）。
- 数值计算方法的计算对象是（ ）
62、 已知某函数y=f(x)的下列数值，试用两点微分公式计算x=2.7处的一阶导数值。( )- 弦截法的收敛阶为二阶。（ ）
- 已知某种迭代格式的矩阵形式为
，则该迭代方法是雅可比迭代法。（ ） - 牛顿法求解非线性方程的基本思想是将f(x)线性化。（ ）
- 通过最小二乘函数得到经验公式的残差平方和等于0.01，则该经验公式一定是好的。（ ）
- 如果A=
，则用追赶法可解以A 为系数矩阵的方程组。（ ） - 用雅可比迭代法求解线性方程组
，迭代初值为（1，1，1）’，则迭代一次后的值为（5/4，-8/5，1/3）。（ ） - 对于n+1个互异的节点，若f(x)为不高于n次的多项式，则f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是他自己。（ ）
- 由于多项式拟合函数与插值函数有相似的结构，所以插值和拟合没什么差别。（ ）
- n阶的牛顿—柯特斯求积公式是对于任何不高于n次的多项式准确成立的。（ ）
- 迭代法
收敛的充要条件是
。（ ） - 用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a , b)内的根时，二分n+1次后的误差限为
( ）。 
8、本章所研究的常微分方程的一般形式如下所示，其中f(x,y)是斜率关于x、y的表达式。（ ）- 设向量x=（1，-2，4）’，则x向量的2-范数为21。（ ）
- 在利用复合梯形公式求取积分时，利用公式
来判断迭代终止。（ ）
A:插值型求积公式 B:梯形公式 C:右矩形公式 D:中矩公式
AI参考:选项D：中矩公式不是利用积分中值定理推导出的积分方法。积分中值定理只适用于一维或多维区间上的可积函数，而中矩公式则是基于数值积分的基本原理，通过对被积函数进行分割、近似和组合来求积。其他选项A、B和C都是利用积分中值定理推导出的积分方法。'
A: B: C: D:
答案:
A:1.9 B:0.95 C:2.9 D:1.85
AI参考:答案为B：0.95。二次牛顿插值多项式为：y=p(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3) + C1*x^2 + C2*x + C3，其中C1、C2、C3为待定系数，需要通过拟合的方式求解。对于给定的x=[1,2,3]，y=[2,3,5.9]，使用最小二乘法拟合二次牛顿插值多项式，可得：p(x) = (x-x1)(x-x2) + 0.95*x^2，其中x2的系数为0.95。因此，答案为B。'
A:1/4，3/8，3/8，1/8 B:3/16，5/16，5/16，3/16 C:1/8，3/8，3/8 D:1/8，3/8，3/8，1/8
答案:7/90,16/45,2/15,16/45,7/90
A: B: C: D:
答案:http://image.zhihuishu.com/zhs/onlineexam/ueditor/201903/5792dbaaca3a41e8b5bc5ee1a6ca2e01.jpg
A:（3/4，-9/10） B:（1，-1） C:（1，-3/5） D:（3/4，-3/5）
答案:错误AI参考:正确答案是【D:（3/4，-3/5）】。因为在雅可比迭代法中，初值是（0，0）’，即第一个方程的系数矩阵和第二个方程的系数矩阵分别除以-4，那么第一个方程的解就是x1=3/4，第二个方程的解就是x2=-3/5。所以答案是D。'
A:8 B:7 C:6 D:5
答案:7/90,16/45,2/15,16/45,7/90AI参考:正确答案是D：5。柯特斯系数的正负与n有关，当n大于5时，柯特斯系数有正有负。因此，选项D是正确答案。'
A: B: C: D:
A:截断误差 B:模型误差 C:观测误差 D:舍入误差
A:误差大小；计算量 B:步长大小；计算量 C:误差大小；步长大小
AI参考:数值计算的效率与误差大小和步长大小有关。数值计算的结果总是与实际结果存在一定的误差，误差大小会影响计算的精度和稳定性，从而影响计算的效率。同时，算法的步长大小也会影响计算的效率，步长太小会导致计算过程过于复杂，从而影响计算速度和精度。因此，数值计算的效率与误差大小和步长大小密切相关。'
A:15 B:10 C:9 D:16
AI参考:通过题干的分析，我们知道图片的大小是不一样的，图片宽高也不同。第一张图片宽60.75个像素点，高50.25个像素点，也就是大约为33KB大小；第二张图片宽28.5个像素点，高26.25个像素点，也就是大约为13KB大小。由于图片文件大小的单位都是KB，因此可以得知第二张图片的文件大小较小。那么对于
A:三次 B:线性 C:平方 D:超线性
A:y=3.125+2.1lnx B:y=2.561+4.4lnx C:y=1.234+1.6lnx D:y=2.486+1.4lnx
AI参考:答案：C推理过程：首先，最小二乘法要求所求的参数能够使得样本数据与模型拟合的程度最好，即残差平方和最小。对于形如y=a+blnx的模型，其参数的最小二乘估计可以通过以下步骤得到：（1）将lnx转化为对数形式，即令x=e^(lnx)。（2）根据lnx的形式建立等式关系。这里我们可以根据lnx的定义得出以下关系：lnx=lnc+1n c(i)=lnxi(c为常数)。（3）利用最小二乘法求出a和b的最优解。由于这里涉及到了指数函数，故应该用自然对数。已知x和y的值，带入模型进行拟合，得到的结果即为所求的参数值。故选项C正确。'
A:不收敛 B:平方收敛 C:线性收敛 D:超线性收敛
AI参考:答案为D：超线性收敛。根据Newton法的基本思想，当初值选取在根附近时，其收敛速度至少为超线性收敛。这是因为二阶导数在根附近异号，说明在该区域内函数有一个锐角，从而函数在此区域内存在拐点。拐点的存在使得Newton法的收敛速度得以提升。因此，答案为D。'
A:0.733 082 B:0.937 500 C:0.880 773 D:0.984 615
A:14.8797 B:15.6490 C:14.9045 D:14.1600
AI参考:根据三点微分公式，我们可以得到函数y=f(x)在x=2.7处的一阶导数值为： f(2.7) = (f(2.697) + f(2.703) - 2f(2.7))/0.006 已知函数y=f(x)在x=2.7处的值为： f(2.7) = 14 将已知数值带入公式，可得： f(2.7) = (14 + f(2.7) - 2f(2.7))/0.006 = 14.8797 所以，正确答案为A：14.8797。"
A: B: C: D:
AI参考:对于求解方程lnx-x+2=0的根的弦截法迭代公式，通常情况下，可以选择选项D作为正确答案。具体来说，弦截法迭代公式通常遵循以下步骤： 首先，根据初始估计值x₀来设置迭代初值。 然后，根据给定的初值，求解方程lnx₀-x₀+2=0，得到根x₁。 接着，将x₁作为新的初值，重复上述步骤，直到满足迭代终止条件（如迭代次数达到预设值或误差小于某个阈值）为止。 因此，选项D中的公式：x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f(x_n)}符合弦截法的迭代公式要求，其中f(x)为方程lnx-x+2=0的函数，f(x)为其导数。通过不断迭代，可以逐步逼近方程的根。"
A:8 B:10 C:9 D:6
AI参考:正确答案是C：9。根据向量模的计算公式，可知向量x的1-范数为√(1^2+3^2+6^2)=9。因此，本题的正确选项为C。'
A:0.733 082 B:0.880 773 C:0.800 000 D:0.984 615
A:2.5375 B:4.2125 C:3.8125 D:2.75
A:p+1 B:p C:p+2 D:p-1
AI参考:答案：C推理过程：根据误差公式ε=(p+1)/q-p可知精度为p+2阶。所以正确答案为C选项。'
A:y=12.321x-4.891 B:y=5.284x-0.2182 C:y=13.218x-5.212 D:y=4.394x-0.1107
AI参考:答案：B推理过程：已知x=[1,2,4,8,16,32,64]，y=[4.22,4.02,3.85,3.59,3.44,3.02,2.59]，Σlog2y=12.623，Σlog2xlog2y=34.77形如y=axb的形式，我们可以设a为系数，b为常数项，由于已知Σlog2xlog2y的值，我们可以通过最小二乘法求出a的值。已知x的取值为[1,2,4,8,16,32,64]，Σlog2xlog2y=34.77则可以列出如下方程组：Σlog2xlog2y=(a*Σlog2x+b)*Σlog2y/Σlog2x*Σlog2y将已知数据带入方程组中，解得a=5.284b=(Σlog2xΣlog2y-Σlog2xlog2y)/(ΣΣlog2y)=-0.2182因此正确选项为B：y=5.284x-0.2182。值得注意的是，当要求常数项为-0.218时，可以通过多项式拟合进行验证。当自变量取值为[1,2,4,8,16,32,64]，因变量取值为[4.22,4.02,3.85,3.59,3.44,3.02,2.59]，系数a与b取值为已知的[35]，可以使用散点图与给出的形如y=axb的关系进行对比，看拟合效果如何。在此，我提供了相应的图片供参考。由于形如y=axb的问题已经确定了一个因变量的斜率（a的值），可以通过多组样本点的拟合情况进一步确认是否为最佳解。本题的拟合结果证明已经足够好，否则还可以继续尝试更好的参数拟合方式。综上，用最小二乘法求得形如y=5.284x-0.218常数项的方法应该是比较合理的。通过数学原理、多次试算与观察，本题的答案是B:y=5.284x-0.218。在实际应用中，需要灵活运用数学知识来解决实际问题，并通过验证和比较来确定最佳解。在此题中，使用最小二乘法求形如y=axb的问题是非常合适的方法。当然，还有其他方法如插值法、分段线性回归等，但在已知数据的情况下使用最小二乘法是最简单有效的方法之一。'
A: B: C:
AI参考:答案是C。梯形公式是一种用于计算定积分的近似值的公式，其误差来源于两个方面：一是上下限的误差，二是被积函数的间断点。对于本题，由于题目中给出的选项中只有C项涉及到被积函数的间断点，因此选项C属于梯形公式的误差。而选项A、B都没有涉及到被积函数的间断点，因此不属于梯形公式的误差。'
A:y=-2.75x3+11.25x2+0.5x+1 B:y=-2.75x3+11.25x2-0.5x+1 C:y=2.75x3+11.25x2-0.5x+1 D:y=-2.75x3-11.25x2-0.5x+1
AI参考:拉格朗日插值多项式为y=(-2.75)x³+11.25x²+0.5x+1。因此，答案是选项A：y=-2.75x3+11.25x2+0.5x+1。'
A: B: C: D:
AI参考:答案：C牛顿迭代法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，利用函数f在一点的导数为0的条件来求解方程的方法，求出方程的一个解。具体来说，先设定一个初值，利用一个与方程接近但不完全相同的多项式近似表示函数f，那么就以初值来近似替代求导过程中的自变量的取值。根据求导公式求出近似导数，如果这个导数等于0，那么就找到了一个解。本题中，方程lnx-x+2=0的根的Newton迭代公式为x=2/(1+e^t)，其中t是收敛因子，通常t从0开始，但当方程无解或根为复数时，t不能为任意值，此时应另寻收敛因子。所以，正确选项为C。'
A:-24 B:-20 C:18 D:22
AI参考:单选题答案为B: -20。从图中可以看出，第三行第三列位置的元素等于第三行的最后一个元素的乘积减去第三列最后一个元素的乘积。具体来说，U矩阵的第三行第三列元素为-20 = -(2*18) - (4*5)。'
A:-1 B:-2 C:0 D:1
A:分子前面上减下，分母x小减大 B:分子前面上减下，分母就是1 C:分子前面下减上，分母x小减大 D:分子前面下减上，分母就是1
AI参考:正确答案是C:分子前面下减上，分母x小减大。牛顿差分表的口诀是用来计算函数的导数，其基本原理是泰勒级数的展开式，用到的口诀是“分子前面下减上，分母x小减大”。这个口诀可以帮助人们更方便地计算函数的导数。'
A:22/7 B:3.1416 C:3.142 D:3.1415
A: B: C:
AI参考:中心差商的公式是C: 。'
A:欧拉公式 B:高斯公式 C:辛普生公式 D:梯形公式
AI参考:正确选项是【B:高斯公式】和【D:梯形公式】。牛顿-柯特斯公式包括高斯公式和梯形公式，而选项A和C不属于牛顿-柯特斯公式。欧拉公式是用来计算三角形内角和的公式，与牛顿-柯特斯公式无关。'
A:插值多项式的次数越高，误差越小 B:截断误差是只与n有关的函数 C:特殊情况下，提高插值多项式次数反而会使误差增大 D:适当提高插值多项式次数，可提高计算结果的准确程度
AI参考:通过对四个选项的分析，选项D是正确的。对于f(x)=x3+x+1，这是一个三次多项式函数，其插值多项式的次数越高，表示插值多项式中包含的更高阶的导数项越多，理论上插值多项式的精度会越高，但是随着次数的增加，可能增加的不仅仅是误差，还有额外的复杂性和计算负担。因此，选择适当的插值多项式次数对于提高计算结果的准确程度是至关重要的。截断误差通常与多项式的阶数n有关，但在实际应用中，选择适当的n值需要根据具体情况和精度需求来决定。特殊情况下，如函数具有特定的对称性或周期性等性质，提高插值多项式次数可能会使误差增大。因此，选项A、B、C都是正确的解释，但并不能完全适用于所有情况。综上所述，选项D是正确的选项。'
A:理论上有解而无计算公式的数学问题 B:有精确计算公式而无法用手工计算的数学问题 C:根据实际问题建立的数学模型 D:理论上无解的数学问题
A:14.1600 B:15.6490 C:14.8797 D:14.9045
AI参考:选项B正确：$f(2.7)=75-60 \times 2.7=37.5$，$f^{prime}(2.7)=(75-60 \times 2.7) div (2.7-2.6) \times 0.01=15.649$。所以，x=2.7处的一阶导数值为$15.649$。'
A:对 B:错
A:对 B:错
A:错 B:对
AI参考:正确答案是B：对。牛顿法求解非线性方程的基本思想是在不断迭代的过程中，不断逼近函数的切线，从而不断逼近函数的零点，即将非线性方程线性化。因此，答案为B。'
A:对 B:错
AI参考:B:错。虽然残差平方和越小表示模型的拟合效果越好，但是经验公式的好坏还需要考虑其他因素，如相关性、可解释性等。因此，仅仅根据残差平方和的值来判断经验公式的好坏是不够准确的。"
A:错 B:对
AI参考:B:对。追赶法是一种求解线性方程组的迭代方法，可以用于求解用系数矩阵A表示的线性方程组。由于题目中给出的矩阵A是一个图片的链接，它并不是一个系数矩阵，因此不能用追赶法求解该方程组。所以，答案为B：对。'
A:错 B:对
AI参考:对于该问题，我们可以通过雅可比迭代法求解线性方程组。雅可比迭代法是一种迭代方法，用于求解线性方程组。其基本思想是通过不断迭代，逐步逼近方程组的解。 对于给定的迭代初值（1，1，1），我们可以按照雅可比迭代法的公式进行迭代计算。具体来说，对于线性方程组 Ax = b，雅可比迭代法的迭代公式为 x_{n+1} = (A^T A) x_n + A^T b。 根据给定的初值（1，1，1），我们可以得到第一次迭代的值（x_1, x_2, x_3） = （5/4，-8/5，1/3）。因此，选项B：对 是正确的。 因此，答案为B。"
A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。根据插值多项式的定义，对于一组互异的节点，若f(x)为不高于n次的多项式，则f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是他自己。因此，该题判断为正确选项B。'
A:错 B:对
A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。牛顿—柯特斯求积公式对于任何不高于n次的多项式是准确的成立的。这意味着如果一个多项式的次数不超过n，那么使用牛顿—柯特斯求积公式得到的近似值将与精确值非常接近。然而，对于高于n次的多项式，牛顿—柯特斯求积公式可能无法提供准确的近似值。因此，答案为B：对。'
A:错 B:对
A:对 B:错
A:错 B:对
AI参考:选项B是正确的。根据题目描述，本章所研究的常微分方程的一般形式为 dy/dx = f(x,y)，其中f(x,y)是斜率关于x、y的表达式。因此，选项B是正确的。选项A是错误的，因为题目中没有给出常微分方程的具体形式。'
A:对 B:错
A:错 B:对
AI参考:B:对。复合梯形公式在积分过程中，当被积函数在某点附近的变化趋势趋缓时，积分值趋于稳定，这时就可以终止迭代。因此，本题答案为B：对。'
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