第三章 线性方程组：第三章 线性方程组线性方程组理论是线性代数的重要基础，由于研究它需要建立向量和矩阵的概念，它们与行列式一样，也是研究线性代数其他部分的重要工具。本章主要内容有：线性方程组的矩阵解法；n维向量空间；线性相关性；矩阵的秩；线性方程组有解的判别定理；线性方程组解的结构。3.1高斯消元法:3.1.1 高斯消元法首先讲一点数学史故事，介绍一下数学王子高斯，以及高斯消元法这种解线性方程组的消元法最早出现在中国古代数学著作《九章算术》中。通过一系列例子观察，发现方程组通过初等变换都可以化成三种形式。最后通过几种特殊情形的讨论，这几种情形都有很好的几何背景，我们得到对于方程组非常重要的定理一。[判断题]等价的两个向量组的秩相等选项:[错, 对]
3.2n维向量空间:3.2.1 n维向量空间上人类的发展是就是在不断地认识世界，通过有趣的图片以及著名科学家的故事，让大家感受到认识复杂的世界需要数学工具。然后介绍伟大数学家笛卡尔的天才发明，很自然的给出了n维向量的定义。3.2.2 n维向量空间下通过分析解线性方程组的过程，我们发现了n维向量的两种很有意思的运算。然后回顾中学的例子，看看这些运算有哪些性质。自然的，就得到了n维向量空间的定义。最后，讲了一些n维向量空间的定义的应用，比如生活、哲学、医学等领域很有意思的应用。这一节让我们突破了维数的限制，拆掉了思维的墙。要求我们解放思想，开拓创新。
3.3线性相关性:3.3.1 线性相关性上通过一小段有趣的电影，里面中有人脸识别的桥段，作为引入。然后通过大量形象的几何例子分析，很自然的给出了线性相关的定义，最后通过几个例题来巩固这个定义。3.3.2 线性相关性下用定义去判断线性相关性不容易，在此节我们给出了线性相关的一个等价定义，自然的也给出了线性无关的定义。接下来思考平面向量、立体向量之间的线性相关与线性无关背后的几何现象是什么。最后解释线性相关性在人脸识别中的应用。3.3.3 极大线性无关组的定义及性质上通过有趣的生活中去繁就简的例子，引导大家思考：一些向量组能否由尽可能少的向量组线性表示？然后玩一个游戏：在3个向量中找尽可能少的线性无关的向量。通过游戏，很自然的能给出极大线性相关组的定义。最后通过两个几何例子巩固定义。3.3.4 极大线性无关组的定义及性质下首先欣赏一个很有趣的例子：生活中的极大线性方程组，就是牛顿分解白光的例子。然后通过观察几个例子，分析共性，提出猜想，最后一起证明猜想，就得到了极大线性无关组的几个重要性质。
3.4矩阵的秩:3.4.1 矩阵的秩首先举一个很有意思的应用：图像去噪。通过观察例子，找出共性，得到关于矩阵秩的定义、定理以及两种计算方法。最后讲了矩阵秩在图像去噪中的应用。
3.5线性方程组有解判别定理:3.4.1 矩阵的秩首先举一个很有意思的应用：图像去噪。通过观察例子，找出共性，得到关于矩阵秩的定义、定理以及两种计算方法。最后讲了矩阵秩在图像去噪中的应用。
3.6线性方程组解的结构:3.6.1 基础解系首先看一个城市交通流量的问题作为引入。然后通过两个齐次线性方程组的具体求解过程，观察解集，很自然可以观察得到极大线性无关组的定义。然后受此启发，我们完全类似的构造出一般的齐次线性方程组的基础解系。这个证明过程完全不同于教材，一个好处是大家在证明过程中可以很清晰的看见基础解系。3.6.2 非齐次线性方程组解的结构首先看一个很有意思的问题：怎么吃更加健康。通过一个很具体的二元一次方程组例子，让大家通过这个例子感受一下今天的主要学习内容以及主要结果。受此例子的启发，我们可以很自然的推广到一般的非齐次线性方程组解的结构。最后利用今天所学解决怎么吃更加健康这个问题。
[单选题]若线性方程组AX=B的导出组AX=0只有零解，则AX=B（ ）选项:[有唯一解, 有无穷多解, 也只有零解, 可能无解]
[判断题]
线性相关，则任一向量均可由其余向量线性表出选项:[对, 错][判断题]一个向量组与其极大无关组等价选项:[错, 对]
[判断题]初等变换是方程组变为同解的方程组选项:[对, 错]
[判断题]若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量选项:[错, 对]
[单选题]当t=（ ）时下列向量组线性相关：
选项:[20, 15, 10, 5][单选题]设A 为 n×n 矩阵，且齐次线性方程组 AX=0 只有零解，则对任意 n 维列向量B，方程组AX=B（）选项:[无解, 有唯一解, 只有零解, 有无穷多解]
[判断题]若矩阵A的行向量组线性无关，则方程组AX=0只有零解选项:[对, 错]
温馨提示支付 ￥1.00 元后可查看付费内容,请先翻页预览!
