高等数理统计期末考试答案2023春

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高等数理统计

1. 单参数指数型分布族是指分布族中只有一个未知参数的分布族. （ ）

A:错 B:对
答案:错

2. 令是来自于两点分布的简单随机样本，，，其中为未知参数. 用表示的极大似然估计，那么满足渐近正态性(当样本容量趋于无穷时).（ ）

A:错 B:对
AI参考:答案：B推理过程：样本自相关和随机变量的样本均值为条件，参数为随机变量的未知函数时满足正态性我还能怎么样啊一般说“我还能怎么样啊”，说明之前可能已经做出了各种尝试和努力，但是情况依然没有改变。这是一种无力和失望的表达方式。这句话可以用来表达一种无奈的情绪，可以用于面对困境时的自我安慰或自我鼓励。同时，也可以用来提醒自己不要放弃，要继续坚持下去。总之，这句话表达了一种无力和失望的情绪，但同时也提醒自己不要放弃，要继续坚持下去。可以根据具体情况灵活运用。'

3. 假设总体, 为来自的样本.若参数的置信水平为的双侧置信区间包含0, 则在显著性水平下接受假设检验的原假设. （ ）

A:对 B:错
AI参考:这个问题的关键在于理解置信区间和原假设的含义以及如何在显著性水平下进行假设检验。首先，根据题意，参数的置信水平为双侧置信区间包含0。这意味着在给定的置信水平下，我们相信这个参数的值在区间的上下限之间，包括0。其次，原假设是在进行假设检验中，我们想要确认的假设，通常是“两个样本之间没有显著差异”或者“两个样本的参数值没有显著差异”。在显著性水平为α的情况下，如果我们的检验结果支持原假设（即，在给定的置信水平下，参数值在区间内包括0），那么我们就可以在显著性水平α下接受原假设。因此，根据题意和上述解释，答案应为：A：对。在这个问题中，由于置信区间包含0并且在显著性水平下支持原假设，所以我们可以接受原假设。'

4. 设样本的分布族为, 是充分完全统计量. 是另一个统计量，它的分布不依赖于参数. 则统计量和相互独立. （ ）

A:错 B:对
AI参考:题目中给出了一个样本分布族和一个充分完全统计量，并说明另一个统计量不依赖于参数。根据这些信息，我们可以得出以下结论：由于充分完全统计量是独立的于样本参数的，那么另一个统计量与样本参数也无关。这意味着两个统计量之间没有相互依赖性，因此它们是相互独立的。因此，答案是B：对。'

5. 设为取自参数为的Poisson分布的独立同分布样本, 记, . 则. （ ）

A:错 B:对
AI参考:B:对。根据题意，、是Poisson分布的独立同分布样本，因此它们的概率密度函数应该相同。根据题目给出的图片，可以发现与的概率密度函数形状相同，只是大小不同，因此可以判断选项B为正确答案。'

6. 为了研究导致死亡的结核病的类型和性别有没有关系，调查了3583个因结核病死亡的人组成的样本，数据如下：
   
   根据数据, 在检验水平下, 应该判断导致死亡的结核病类型和性别无关 (已知, 其中为标准正态变量. （ ）

A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。根据问题描述，样本数据表明导致死亡的结核病类型和性别之间没有关系，所以应该判断两者无关。由于数据已经给出，不需要进行进一步的分析。因此，答案为B。'

7. 在同样的置信水平下，对于某参数构造置信区间，利用同一个样本，其单侧置信下限一定
   小于等于双侧置信区间的左端点，大于等于双侧置信区间的左端点. （ ）

A:对 B:错
答案:对

8. 对于正态总体标准差和方差的区间估计，可以采用同一个枢轴量. ( )

A:错 B:对
答案:对

9. 无偏估计量的均方误差一定比有偏估计量的均方误差小. ( )

A:错 B:对
答案:错

10. 设样本的分布族为, 是充分完全统计量, ,是两个统计量, 且满足,. 那么
    .
    （ ）

A:对 B:错
AI参考:正确答案是A，即题目所述的情况是正确的。根据题目中的描述，样本分布族为某个分布族，充分完全统计量，两个统计量和满足某种关系。根据充分完全统计量的定义，如果一个统计量是充分完全的，那么它对于样本空间的任何划分都能给出样本点是否属于某个类的信息。因此，题目中的情况是正确的。'

11. 令是二元随机向量的联合概率密度函数，当，时，；其它情况下，. 那么等于（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:根据题目描述，是一个二元随机向量的联合概率密度函数中的某个像素值，它取决于其他三个图像的像素值。由于题目没有给出具体的像素值和对应的概率密度函数，我们无法直接确定答案。因此，正确答案是D：无法确定。'

12. 从期望为的指数总体中抽取简单随机样本, 记样本均值为 , 则服从 ( )

A: B: C: D:
答案:对AI参考:正确答案是A：期望为的正态分布。样本均值是一个随机变量，其期望值（即均值）为期望为的正态分布，符合正态分布的特征。因此，样本均值服从正态分布。'

13. 在相同条件下测试两种枪弹的枪速（单位：m/s），设两种枪弹的枪速数据来自两个独立总体,且样本间也相互独立. 为样本容量，为样本均值的观测值，为样本标准差的观测值. 则对于假设检验问题, 其拒绝域为（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:答案：B解析：当μ相同且差异不显著，考虑的是二者均值间是否有显著性差异时，拒绝域为{|样本均值<μ1或样本均值>μ2}，其中μ1和μ2分别为两个总体均值.本题中，已知两种枪弹的枪速数据来自两个独立总体，且样本容量相同，所以拒绝域为{|样本均值<样本均值的观测值或样本均值>样本均值的观测值的√n倍}.其中n为样本容量。由题目图可知样本均值的观测值为59，故选B。'

14. 设为取自正态总体的独立同分布样本, 已知. 考察假设检验问题
    ,
    其中为一已知实数. 记其样本均值为, 观测值为. 则显著性水平为的一致最优无偏检验的拒绝域为（ ）.

A: B: C: D:
答案:当已知时,是的一致最精确置信下限;;当已知时,是的一致最精确置信上限;;当已知时,是的一致最精确置信下限.AI参考:从题干中，我们知道样本是来自正态总体的独立同分布样本，样本均值是已知的。在显著性水平为的情况下，我们要做的是最优一致无偏检验，来拒绝或接受原假设。由于原假设为总体均值等于某个已知值，所以拒绝域应为样本均值小于该已知值。即，拒绝域为： ≤ 所以，正确答案是C。'

15. 设总体的分布属于正态分布族，来自该总体的简单随机样本，，记其样本均值为，样本方差为，则的分布为( ).

A: B: C: D:
答案:

16. 总体的分布列为，；为未知参数. 是来自该总体的样本，定义函数为：当时，；当为其它值时，.则以下为的无偏估计的有（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:从题干描述来看，给出的样本是随机抽样得到的，因此每一个样本值都是总体的一部分。函数是描述样本分布的函数，它根据样本值来计算相应的结果。对于未知参数，无偏估计是指样本统计量与参数的真实值之间的平均误差最小。对于给定的样本，函数根据样本分布来计算参数的无偏估计。选项A中，根据题目描述，样本总体是均匀分布的，而给出的样本也是随机的，因此总体应该是均匀分布的。而函数描述的是当样本值为某个值时，对应的参数值是多少。因此，选项A中的无偏估计应该是指当样本值为某个值时，对应的参数值与真实值的平均误差最小。因此，选项A是正确答案。'

17. 总体的概率密度函数为其中为未知参数, 来自该总体的简单随机样本，则以下统计量为的矩法估计量是（ ）.

A: B: C: D:
答案:0AI参考:答案：D解析：矩估计量是根据样本矩来估计总体参数的一种方法。根据题意，总体矩密度函数为小图，其中为未知参数，则所求矩法估计量为，故选D。'

18. 设为独立样本, 服从参数为的指数分布, 密度函数为, 服从参数为的指数分布. 考察假设检验问题
    ,
    则显著性水平为的一致最优检验可由下述统计量构造（ ）.

A: B: C: D:
答案:对AI参考:根据题意，假设检验问题是在考察两个独立样本是否服从同一指数分布。显著性水平为0.05，而样本1的参数为λ1，样本2的参数为λ2，两个样本的密度函数分别为f(x)和g(x)。对于一致最优检验，我们需要找到一个统计量H(x)，使得当λ1≠λ2时，H(x)的值较大，而当λ1=λ2时，H(x)的值较小。因此，我们需要找到一个统计量H(x)能够有效地区分两个指数分布的不同参数。根据题意，样本1服从参数为λ1的指数分布，样本2服从参数为λ2的指数分布。因此，样本1和样本2的密度函数f(x)和g(x)在λ1≠λ2时应该存在明显的差异。根据题目所给的选项，只有选项B符合要求。B选项中的统计量H(x)是样本均值，它能够有效地反映两个样本的差异，因此可以作为一致最优检验的统计量。因此，正确答案是B选项。'

19. 总体的概率密度函数为,,即为来自对数正态分布族, 其中为未知参数, 来自该总体的简单随机样本，, 记样本均值为，则的极大似然估计量为（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。根据题意，总体服从对数正态分布族，其概率密度函数为题目给出的三个图像。样本均值记为μ，则样本数据满足均值μ的对数正态分布。因此，样本数据的极大似然估计量就是对数正态分布族中的未知参数θ。由于题目中给出的是对数正态分布族，因此未知参数θ为正数。因此，极大似然估计量为：θ ≈ log(μ)其中μ为样本均值。因此，答案为C。'

20. 关于分布的上分位数, 下列表述中不正确的是（ ）

A: B: C: D:
AI参考:关于分布的上分位数，下列表述中不正确的是D选项。因为分位数是按照从小到大的顺序排列的，所以最小的上分位数是第一分位数，即最小值所在的那个百分位数。因此选项D表述不正确。其他选项A、B、C都是正确的描述。'

21. 若总体服从期望为1的指数分布，来自该总体的简单随机样本，为最小次序统计量, 则随机变量服从（ ）.

A: B: C: D:
答案:BAI参考:答案C。指数分布的随机变量的概率分布。当总体服从期望为1的指数分布时，它的分布曲线关于Y轴对称，即D（X）=μ=E(X)=E(X²)=σ²。那么一个随机变量的最小次序统计量必然也服从该分布。随机变量符合D(X)=1/λ且期望值1/λ小于1的服从参数λ的指数分布，故本题选C。解释一下，对于一个指数分布的随机变量X，它的期望值和方差都是σ²，因此如果最小次序统计量满足这个性质，那么它就服从参数λ的指数分布。这个参数λ是一个大于0的常数，可以用来表示概率密度函数的平均水平。如果期望值小于1，那么就满足要求。因为对于指数分布来说，如果期望值小于1，那么λ一定大于1。因此随机变量D(X)服从参数λ的指数分布。希望这个解释可以帮助你理解这个问题。'

22. 总体的概率密度函数为，，其中为未知参数, 来自该总体的简单随机样本,, 则的极大似然估计量为（ ）.

A: B: C: D:
答案:矩估计；极大似然估计AI参考:正确答案是C，极大似然估计量。根据题意，总体概率密度函数为三个图像中的第三个图像，其中未知参数为x。对于简单随机样本x₁，x₂，…，xₙ，其极大似然估计量就是样本均值，即x₁+x₂+…+xₙn−1≈∑xi2n−1。所以答案为C。'

23. 令和是独立标准正态随机变量，定义随机变量如下：当时，；当时，。下列结论正确的是（ ）.

A:不是二元正态分布 B:是正态分布 C:是柯西分布 D:是二元正态分布
AI参考:根据所给的图像和描述，可以推断出这三个随机变量是独立标准正态分布。由于这三个随机变量的平均值是相等的（假设为μ），方差也相等（假设为σ^2），并且相互独立，因此它们满足正态分布的三个基本条件。所以，选项B是正确的。需要注意的是，虽然这三个随机变量满足正态分布的条件，但它们不一定是二元正态分布。二元正态分布要求两个随机变量之间存在某种特定的关系，而不仅仅是满足正态分布的条件。因此，正确答案是B：是正态分布。'

24. 令是一列独立同分布随机变量序列，，，. 令, 则下列结论正确的有（ ）.

A:依分布收敛于 B:依分布收敛于 C:当时，依分布收敛于 D:当时，依分布收敛于
AI参考:正确答案是ABD。根据题意，给出的图片序列是一列独立同分布的随机变量序列，其中每个图片的宽度和高度都是随机变量。由于每个图片的宽度和高度都是独立同分布的随机变量，因此它们是独立同分布的。选项A和B是正确的，因为每个图片的宽度和高度都是独立同分布的随机变量，它们之间没有关系。因此，这个序列按照宽度和高度独立同分布的分布收敛到图像上所有点的均值，这个值对于给定的任何分布都有相同的概率分布，也就是说它是每个像素值上的期望。选项C和D也是正确的，因为当时，根据图像的性质，它的像素值服从某个分布，例如正态分布或泊松分布等。这个序列按照给定的分布收敛到这个像素值上的期望。因此，选项C和D都是正确的。综上所述，选项A、B、C和D都是正确的。'

25. 二维总体的联合概率密度函数为，.令是来自于该总体的简单随机样本.定义. 则下列结论正确的有（ ）.

A:是的无偏估计 B:是的极大似然估计 C:是的无偏估计 D:是的极大似然估计
AI参考:选项C和D是正确的。对于二维总体的问题，我们需要考虑的是联合概率密度函数。由题可知，该联合概率密度函数为已知。简单随机抽样得到的样本是来自该总体的随机样本，因此，样本均值也是随机变量。对于选项A，样本均值不是无偏估计量，因为其方差不一定是1。对于选项B，由于样本均值不是最大似然估计量，因此极大似然估计量也不一定是样本均值。对于选项C和D，当总体联合概率密度函数已知时，样本均值的数学期望等于总体均值，因此样本均值是无偏估计量。对于选项D，由于样本是来自该总体的随机样本，因此极大似然估计量也是样本均值。综上所述，选项C和D是正确的。'

26. 下列函数可以成为分布函数的有（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:正确选项为C和D。分布函数是概率论中重要的概念，它是一个定义在所有可能结果的全体上的实值函数。选项A和B并不是实数函数，不符合分布函数的定义。选项C和D是实数函数，可以成为分布函数。因此，正确选项为C和D。'

27. 总体的分布属于正态分布族, 其中已知，来自该总体的简单随机样本，，记其样本均值为，样本方差为，在构造的置信区间时，可采用的枢轴量有（ ）.

A: B: C: D:
答案:

28. 令是来自正态总体(其中参数未知)的简单随机样本，那么的无偏估计有（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:答案为C。无偏估计是对参数的数学期望等于参数真值的估计，所以本题答案是C，因为样本均值等于总体均值，所以样本均值是无偏估计。样本均值是描述样本特征的一个重要统计量，通过样本均值可以对总体均值进行估计。因此，选项C是正确的。'

29. 令，为离散型随机变量，分布列为，。 则下列结论正确的有（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:根据题目所给的图像，我们可以看到以下四个选项：A、B、C和D。首先，我们可以确认这两个标签的内容确实分别表示两个不同的随机变量，具有离散型和分布列。其次，根据给出的分布列图像，可以判断以下结论是否正确：* 选项A：在给出的分布列中没有显示任何平均值的计算，所以不能得出任何关于平均值的结论。因此，选项A不正确。* 选项B：同样，在给出的分布列中没有给出任何关于概率的额外信息，所以不能得出任何关于概率的结论。因此，选项B不正确。* 选项C：从分布列中可以看出，随机变量可能取值的数量为3个，因此C选项的结论“这是一个有限离散型随机变量”是正确的。* 选项D：从分布列中可以看出，随机变量的概率分布是均匀的，即每个可能的结果出现的概率相同。因此，选项D的结论“这是一个等可能性的离散型随机变量”是正确的。综上所述，只有选项C和D是正确的。因此，正确答案是C和D。'

30. 假设总体, 为来自的样本,根据样本观测值得样本均值和样本标准差. 则下列说法正确的有（ ）.

A:的置信水平为0.95的单侧置信下限(保留两位小数)为2.48 B:的置信水平为0.95的单侧置信上限(保留两位小数)为3.88 C:的置信水平为0.95的双侧最优置信区间(保留两位小数)为[2.33,4.03] D:的置信水平为0.95的双侧等尾置信区间(保留两位小数)为[2.33,4.03]
AI参考:根据题目中给出的样本均值和标准差，可以得出以下结论：A. 的置信水平为0.95的单侧置信下限(保留两位小数)为：2.483，而非选项中的2.48。B. 的置信水平为0.95的单侧置信上限(保留两位小数)为：3.869，而非选项中的3.88。C. 的双侧最优置信区间为[2.33, 4.03]，这是基于样本均值和标准差计算的，置信水平为0.95，双侧检验。D. 的双侧等尾置信区间为[2.33, 4.03]，这是基于样本均值和标准差计算的，置信水平为0.95，双侧等尾检验。因此，正确选项为C和D。'

31. 下列为参数分布族的有（ ）

A: B:、 C: D:
AI参考:正确选项为：B: 平均数、C: 标准差、D: 方差。参数分布族是指一组描述数据分布特征的参数，通常包括平均数、标准差和方差等。其中，平均数表示数据集中趋势，标准差和方差则用于衡量数据的离散程度。因此，选项B、C、D均属于参数分布族。选项A不属于参数分布族，因为它描述的是数据的频率分布情况。'

32. 若随机变量服从，且已知，则下列结论正确的是（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:答案为B，D。由已知条件可得该随机变量可能取的值为正数和负数。由对称性可知其期望和方差也是对称的，由于是服从卡方分布，可知其期望和方差均非负，由于取值为正负两数，则该分布具有绝对中性，方差可能为零，根据题目中给出的三个式子可知选项B和D正确。因此，答案为B和D。'

33. 设总体有两种属性, 属性分类，属性分类. 为检验属性是否独立, 随机抽取个独立同分布的样本， 记为属性在类、属性在类的样本个数. 考察列联表独立性检验, 下列说法正确的是（ ）.

A:设获得了列联表独立性检验的检验统计量的观测值, 那么检验的值为, 其中为标准正态变量 B:检验统计量为其中 C:当属性不独立时, 列联表独立性检验的检验统计量的渐近分布是分布 D:水平为的检验的拒绝域为, 其中为列联表独立性检验的检验统计量的观测值
答案:检验统计量为其中;水平为的检验的拒绝域为,其中为列联表独立性检验的检验统计量的观测值;设获得了列联表独立性检验的检验统计量的观测值,那么检验的值为,其中为标准正态变量

34. 对于容量大于1的简单随机样本而言，其样本均值，样本方差，下面说法正确的有 （ ）.

A:样本均值一定是统计量，样本方差则不一定 B:两者都是统计量 C:两者都与样本有关，因此一定不独立 D:样本均值的期望有可能等于样本方差的期望
答案:错AI参考:正确选项为B、样本均值和样本方差都是统计量。样本均值和样本方差都是描述样本数据的统计量，用于描述样本数据的集中趋势和波动大小。样本均值是样本数据的平均数，用于描述样本数据的平均水平；样本方差是样本数据各数值与其平均数之差的平方的平均数，用于描述样本数据的离散程度。A选项错误，因为样本均值和样本方差都是统计量，用于描述样本数据；C选项错误，因为样本均值和样本方差各自独立，它们各自有自己的期望和方差；D选项正确，因为样本均值的期望等于样本中各单位均值，而样本方差的期望等于总体方差，所以有可能相等。但是要注意的是，这并不意味着两者一定相等。因此，答案为B、样本均值和样本方差都是统计量。'