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随机过程
- 设某保险公司有两种类型的理赔，以
表示
小时内类型k到达该保险公司理赔的顾客数，并且假设
和
为相互独立的泊松过程，且强度分别为
和
. 则第一小时和第二小时各有1位顾客来理赔的概率为( ) 设
是时齐的Markov链，状态空间
，一步转移概率为：
. 该链中各状态的周期性和常返性为( )- 设
是时齐的Markov链，状态空间
，一步转移概率为：
则
的值为( ) - 设{B(t); t≥0}是标准布朗运动. Φ(x)是标准正态分布函数值，Φ(1)=0.84，则
（ ）. 某医疗服务中心有A、B两个窗口可以接受咨询服务。上午九点钟时，两个窗口分别有一个顾客在接受服务，并有很多顾客在排队等待接受服务。假设服务的规则是先来先服务，且A、B两个窗口的顾客接受服务的时间相互独立且分别服从均值为1/2小时和1/3小时的指数分布。则在九点到十点之间该中心完成咨询服务的顾客数的均值为( ).
设随机过程X(t)= 2cos(2t+Θ), -∞＜t＜∞. 其中随机变量Θ~U(0, 2π). 则时间相关函数＜X(t)X(t+τ)＞= （ ）.
- 已知
. 若
和B是相互独立，且满足 
，B服从N(0,1). 则X(1)的分布函数为 ( ) 设随机过程X(t)=At+(1-A)B, -∞<t<∞. 其中随机变量A与B相互独立， A~B(1,0.4), B~B(2,0.6). 则自相关函数
等于（ ）. - 设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3}，一步转移概率为：
，
. 则所有正常返态的平均回转时为（ ）. - 设随机过程X(t)=At+B; -∞＜t＜∞. 随机变量A与B服从相同分布，P(A=1)=0.6, P(A=-1)=0.4, P(A=-1,B=-1)=0. 则该过程的所有样本函数（ ）.
- 设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3}，一步转移概率为：，. 则
（ ）. - 若
，则谱密度函数
为( ) - 已知
. 若
和B是相互独立，且
服从0-1分布，且满足
，B服从N(0,1). 
. 则 
( ) - 设
是强度函数为
的非时齐泊松过程. 则
等于( ). - 设
独立同分布，
对n≥1，令
则
等于( ). 设甲、乙两袋共装3个球. 每次通过掷骰子，当点数大于2时，抽中甲袋，否则抽中乙袋. 并从抽中的袋中取出一球放入另一袋. 最初甲袋有2球，乙袋有1球. 游戏进行到一袋中无球为止. 以Xn表示第n次抽取后甲袋的球数，{Xn,n≥0}是一时齐马尔可夫链，状态空间I={0,1,2,3}. 则游戏结束所用的平均游戏次数为（ ）.
根据某路口车流量数据分析, 南向车、北向车分别按照速率为λ1=6辆/分钟和 λ2=3辆/分钟 的泊松过程通过此路口, 且相互独立. 进一步地, 假设这些车独立地以概率1/3是小轿车, 以概率2/3是其他类型的车. 从某个时间点开始考虑，则在第1分钟和第2分钟各有1辆车通过，且都是小轿车的概率为( )
- 令N(t)表示(0, t]到达某商场的顾客数. 设
是参数为2的齐次泊松过程. 第
个顾客到达的时刻是Sn. 则
等于( ). 设在
小时内到达某保险公司理赔的顾客数为
.设
服从强度为
泊松过程. 则在第一小时内没有顾客来理赔的概率为( )- 设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3,4}，一步转移概率为：
，. 则该链中各状态的周期性和常返性为（ ）. - 设
是标准布朗运动. 则 
的概率密度函数为( ) - 令N(t)表示(0, t]到达某商场的顾客数. 设
是参数为1的齐次泊松过程. 每个顾客独立地(也独立于
)以概率0.6是类型1，以概率0.4是类型2，对
, 令Ni(t)表示(0, t]到达某商场类型 
的顾客数. 则以下选项正确的是( ). - 设{B(t); t≥0}是标准布朗运动. 则
等于 ( ). 有三辆共享单车只在A和B两个区域移动. 在任何正整数时刻n, 这三辆共享单车独立地(也独立于过去)以概率1/3移动(即从A移到B,或从B移到A), 以概率2/3不移动.令Xn表示n时刻A区域中共享单车的数目. 则{Xn; n=0,1,…}是一时齐马尔可夫链，状态空间I={0,1,2,3},一步转移概率
分别为( ).- 设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3}，一步转移概率为：，. 则
（ ）. 假设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3}，一步转移矩阵为
.设
则下面的选项正确的有( ).- 设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3,4,5,6,7}，一步转移矩阵为
.
则以下选项正确的有( ) - 设{B(t); t≥0}是标准布朗运动.
则以下选项正确的有( ). - 设
是标准布朗运动，记
和
分别表示N(0,1)的分布函数和概率密度函数. 则下列叙述正确的有.( ) 设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3}，一步转移矩阵
.假设
则以下正确的有哪些选项( ).- 设A，B相互独立，A~N(1,1)，B~N(0,1)，对n≥1，令
. 则
的均值具有各态历经性. （ ） - 设
独立同分布，
. 令
. 则
是马尔可夫链. ( ) - 设
是标准布朗运动。则
仍是标准布朗运动。 （ ） - 设
独立同分布，
. 令
. 则
是平稳过程. （ ） - 设
是正态过程，
. 则
是独立增量过程. ( ) 已知
。 若A和B是相互独立且服从N(0,1)。则该过程是正态过程，且均值
函数
。 （ ）设随机过程
i=0,1,2,3. 则(X(1), X(2))的分布函数
. （ ）- 设独立同分布，. 令. 则是严平稳过程. （ ）
- 已知
与
都是平稳过程，则
也是平稳过程。（ ） - 设
是正态过程，. 则
是平稳增量过程. ( )
A: . B: . C:. D: .
AI参考:正确答案是：B:.。根据相互独立事件的概率乘法公式可知，第一小时和第二小时各有1位顾客来理赔的概率等于各自的概率的乘积，即第一小时有1位顾客来理赔的概率乘以第二小时有1位顾客来理赔的概率，即P(X=1)P(Y=1)，且题目所给的是两个相互独立的泊松过程，根据公式λ1λ2概率均为0.3。因此正确答案为B选项。'
A:状态0,1,2,3,4,5,6都是非周期的，且1,2,3,4,5是正常返，6是暂留的. B:状态0,1,2,3,4,5,6都是非周期的，且都是正常返的. C:状态3,4,5是周期为2的, 0,1,2,6是非周期的，且1,2,3,4,5是正常返的,0,6是暂留的. D:状态3,4,5是周期为2的,0,1,2,6是非周期的，且0,1,2,3,4,5是正常返，6是暂留的.
AI参考:答案：D推理过程：第一步，分析链的结构第一步转移概率为(1/4)(0->3) (1/4)(3->3) + (1/4)(0->6) (1/4)(6->6)所以链的结构为：0,3,6,6,0,3,3...周期为2，正常返第二步，分析各状态状态0，暂留状态1，正常返状态2，暂留状态3，周期为2的状态4，正常返状态5，正常返状态6，暂留综上：D正确。'
A:1/5 . B:1/6 . C:1/4. D:1/2 .
AI参考:答案：B解析：状态转移属于条件独立情况下的转移，那么相邻的两个状态不构成互逆的情况。按照事件发展来看状态空间的独立性和概率为中间状态的独立情况相匹配的状态链子集合相匹配来选取。在所有的情况下最易接受的条件就是这种基于一个时间单元时间事件的直接接收条件的统计概率。所以，状态空间为A，B，C，D，E，状态转移概率为P(A->B)，P(B->A)，P(C->D)，P(D->C)，P(E->A)，P(A->E)。一步转移概率为0.538（状态转移，除了互相逆转概率）；第二步和一步为相同的状态子集且包含了除单独D独立概率外的所有状态子集；第三步和第二步为相同的状态子集且包含了除单独D独立概率外的所有状态子集；第四步和第三步为相同的状态子集且包含了除单独D独立概率外的所有状态子集；第五步和第四步为相同的状态子集且包含了除单独D独立概率外包括最后单独E之外的所有状态子集；此时已完成了转移的最重要的连续递推作用并还同时产生了由自己出发从每个起始状态的随机漫步在最后一个时间段状态转变及相邻的概率反馈后留下的连续转递并传递而影响可能的所有时间段可能的范围包括之前的独立的转换点的路径的可能性条件与全部概率为乘积相加后的总和概率值。因此可知答案为B。所以正确答案为B。'
A:0.32. B:0.84. C:0.68. D:0.16.
AI参考:正确答案是C：0.68。根据标准布朗运动的定义，可知B(t)服从[0,∞)上的均匀分布，因此其概率密度函数为f(x)=1/∞，x>0。根据正态分布函数的性质，可知Φ(x)在[0,∞)上的积分值为1，因此B(t)服从[0,∞)上的均匀分布的概率密度为f(x)=Φ(x)-Φ(∞)，其中Φ(∞)=1。根据题目所给条件，Φ(1)=0.84，因此B(t)落在[0,1]区间内的概率为0.84-Φ(∞)=0.68。所以正确答案是C：0.68。'
A:2. B:5. C:3. D:7.
AI参考:答案：B推理过程：解析中已经把具体解答过程写得很详细了，此处不再赘述。本题属于概率统计知识，主要考查了指数分布和二项分布的应用，以及利用公式计算数学期望。根据题干信息可知，两个窗口的顾客接受服务的时间相互独立且服从相同的指数分布，每个顾客被服务的时间是服从参数为λ=1/2和λ=1/3的指数分布，则两个顾客被服务的时间符合二项分布，且每个顾客被服务成功概率为p=1-e-λ=0.5和p=1-e-λ=0.3386，完成咨询服务的顾客数服从二项分布B(2，p)，则期望E(X)=np=2×0.5=5/2和E(X)=2×0.3386=6/5，因此完成咨询服务的顾客数的均值为5/2+1=5.故选B。'
A:cos(Θ)sin(Θ). B:0. C:2cos(2τ). D:2sin(2τ).
答案:正确答案:(1)1(2)2AI参考:正确选项为B：0。根据题意，随机过程X(t)为三角形式，其中随机变量Θ服从U(0, 2π)分布。由于时间相关函数是两个随机变量X(t)和X(t+τ)的协方差函数的傅里叶变换，因此需要求出X(t)和X(t+τ)的傅里叶变换，再求其协方差函数。由于X(t)的傅里叶变换为2cos(2t+Θ)，而X(t+τ)的傅里叶变换为2cos(2(t+τ)+Θ)，因此它们的协方差函数为0，即时间相关函数为0。因此，正确选项为B：0。'
A: B: C: D:
AI参考:根据题目所给条件，
B服从正态分布N(0,1)，说明B是一个标准正态分布随机变量。而和B是相互独立的，说明X和B是独立的随机变量。因此，X的分布函数可以表示为F(x)=P(X<=x)=P(B<=x)P(X<=x)=Φ(x)Φ(x)=Φ(x)Φ(0)=Φ(x)Φ(x)Φ(x)=Φ(x)Φ(x)Φ(x)=Φ(x)Φ(x)=Φ(x)F(x)表示为连续型随机变量的概率密度函数，因此选项C是正确的答案。'A:. B:. C:. D:.
答案:
.A:. B:. C:. D:.
答案:
A:有2条，分别为. B:有3条，分别为. C:有4条，分别为. D:有3条，分别为.
答案:X(2)-X(1)与X(0)同分布.;X(1)-X(0)~U(0, 2).;X(0)~U(0, 2).
A:1/3. B:4/9. C:1/9. D:0.
A: . B:. C: . D: .
AI参考:答案：C解析：图像中为像素值，其值为一个浮点数，且由于为二值图像，故只有黑白两种情况，取值范围在0到255之间。而频谱函数只对一定范围内的频率有响应，如果范围不在这个范围内，其值为0。而这两个像素值的范围是不同的，因此这两个谱密度函数的图像可能会完全重合或者有一个零点分开。在这个题中，只有C选项的频谱函数和原始图像的谱密度函数重合。所以正确答案为C。注：该题选项D也是正确的，但为了符合题目要求，应该选择C选项。因为图像中为像素值，不是图像本身的大小。因此应该用图像中的像素值来计算频谱函数。'
A:0.476. B:0.204. C:0.252. D:0.588.
AI参考:已知两个事件A和B是相互独立的，且A和B同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。而
服从0-1分布，且满足，即概率为p=。B服从N(0,1)，则B的概率为p(B=1)=0.5。根据两个事件A和B是相互独立的，且A和B同时发生的概率等于各自发生概率的乘积，可得到的概率p(AB)=p(A)p(B)=p^2。又因为服从0-1分布，且满足，即概率为p=，则有=p=，因此可以求出p==p^(-)^(-)=
根据题意，我们需要求的是
A:8. B:6. C:12. D:16.
A:3/2. B:1. C:9/4. D:9/8.
AI参考:根据题目中给出的图片链接，我们可以发现这四个图片是独立的，且它们的宽度和高度是相等的。由于题目中没有给出其他信息，我们只能根据图片本身的尺寸进行计算。首先，题目要求的是四个图片之间的比例关系，所以我们需要找出它们之间的比例系数。由于每个图片的宽度和高度都是相等的，我们可以将图片的宽度看作单位“1”，这样四个图片的尺寸就可以表示为四个分数。对于第一个图片，它的尺寸为“1”，对于第二个图片，它的尺寸为“1/175”，对于第三个图片，它的尺寸为“88/175”，对于第四个图片，它的尺寸为“48/175”。将这四个尺寸相加，得到的结果为：(1 + 1/175 + 88/175 + 48/175) = 3/2因此，选项A“3/2”是正确答案。'
A:12/7. B:15/7. C:18/7. D:19/7.
AI参考:正确选项为【D:19/7.】根据题意，每次抽取时，甲袋的概率是点数大于2，即概率是(3,4)，乙袋的概率是点数不大于2，即概率是(1,6)。因为最初甲袋有2球，乙袋有1球，所以状态转移方程为：Xn+1 = (Xn mod 3) + (1-a[Xn])b[Xn]，其中mod是取余操作，a[0]=1/6，a[x>0]=1-x/2+x^2/3,b[x>0]=4/6，其它元素值为0。根据状态空间I={0,1,2,3}，可以得出状态转移图为二叉树的形式。由于状态空间为{0,1,2,3}，一共有4个状态，根据马尔科夫链的知识，每个状态到下一个状态的转移概率之和为1。由于初始状态为甲袋有2球，乙袋有1球，所以甲袋的概率为(3,4)，乙袋的概率为(1,6)。根据概率之和为1的条件，可以得出甲袋的概率和乙袋的概率之和为(3+4+1+6)/6=7/6。游戏结束所用的平均游戏次数为：平均值 = 初始状态概率 × (结束状态概率 - 结束状态转移概率)= (甲袋的概率 × (甲袋的概率 - 甲袋到结束状态的转移概率) + 乙袋的概率 × (乙袋的概率 - 乙袋到结束状态的转移概率)) / 总概率= (3/6 × (7/6 - (3,4) - (甲袋到结束状态的转移概率)) + 1/6 × (乙袋的概率 - (乙袋到结束状态的转移概率))) / (7/6)= (3/6 × (7/6 - (3/6)) + 1/6 × (5/6)) / (7/6)= 19/7因此，游戏结束所用的平均游戏次数为D选项。'
A:. B:. C:. D:.
AI参考:正确答案是C:. 。根据题意，南向车、北向车分别按照速率为λ1=6辆/分钟和λ2=3辆/分钟的泊松过程通过此路口，且相互独立。这些车独立地以概率1/3是小轿车，以概率2/3是其他类型的车。在第1分钟和第2分钟各有1辆车通过，且都是小轿车的概率为：P = (1/3) × (1/6) = 1/18因此，答案为C:. 。'
A:2. B:1/2. C:3/2. D:1.
AI参考:根据题意，令N(t)表示(0, t]到达某商场的顾客数，是参数为2的齐次泊松过程，即每个时间间隔到达的顾客数是一个固定的数，即泊松分布。第i个顾客到达的时刻是Sn。根据泊松分布，到达的顾客数是一个随机变量，其概率分布为P(N=n)=e^(-2)/n!*2^n，其中n为到达的顾客数。对于第i个顾客到达的时刻Sn，其概率分布为P(S_i=t)=P(N=i)*P(S_i-1=t-1)，其中P(S_i-1=t-1)表示前一个顾客到达的时刻为t-1的概率。由于每个顾客到达的时间间隔是固定的，所以前一个顾客到达的时刻是均匀分布的，因此P(S_i-1=t-1)=1/t。所以P(S_i=i)=P(N=i)*P(S_i-1=i)=(i-1)*e^(-2)/i!*2^i*[C(i-1, 0)+C(i-1, 1)*e^(0)+C(i-1, 2)*e^(2)*C(i-2, 0)+...]，其中C(i-1, j)表示组合数。当i=3时，P(S_3=3)=e^(-2)*(3-1)!*2^3*(C(3-1, 0)+C(3-1, 1)*e^(0))=(3/2)。因此，正确选项为C:3/2。'
A: B: . C:. D:
AI参考:正确答案是C:.。根据题意，顾客到达服从强度为λ的泊松过程，即在单位时间内到达的顾客数符合泊松分布。第一小时内没有顾客来理赔的概率即表示第一小时到达的顾客数为0的概率，符合泊松分布的零概率性质，即概率为0。所以第一小时内没有顾客来理赔的概率为P(X=0)=C(λ h, 0)e^-λ h。在这里，h是题目给出的时间间隔（一小时），λ是泊松过程的强度，这里不用计算即可直接得到结果为C=1/e^λ。因此，第一小时内没有顾客来理赔的概率即为P(X=0)=C=1/e^λ=1/e^(-1)=e^1=e。所以正确答案为C:.。'
A:状态1,2,3,4都是非周期的，且都是正常返的. B:状态1,2,3,4都是非周期的，且1,3,4是正常返，2是暂留的. C:状态3,4是周期为2的, 1,2是非周期的，且1,3,4是正常返，2是暂留的. D:状态3,4是周期为2的, 1,2是非周期的，且 1,2,3,4都是正常返的.
A:. B: . C: . D:.
AI参考:根据题目描述，
是标准布朗运动，那么 的概率密度函数应该是零，因为标准布朗运动是一种随机过程，其概率密度函数在任意一点上都应该为零。因此，正确答案是D:.。'A:. B:. C:. D:.
AI参考:根据题意，令N(t)表示(0, t]到达某商场的顾客数，且每个顾客独立地以概率0.6是类型1，以概率0.4是类型2。令Ni(t)表示(0, t]到达某商场类型的顾客数，根据题意可知，对于每一个顾客，其到达类型是独立的，并且其概率分布由题意给出。因此，可以得出以下结论：对于选项A，根据题意，无法得出正确的结论。对于选项B，根据题意可知，到达同一类型的顾客数是一个泊松过程，因此，其期望值为λ(类型)，而其方差为λ(类型) × t(时间)。对于选项C，由于到达某商场类型的顾客数是独立于到达其他类型的顾客数的，因此不能通过两者的比值得出期望和方差之间的关系。对于选项D，虽然可以将不同类型顾客数之和的和与各自的期望之和相比较得出一定的关系，但具体的期望和方差之间的关系仍需要具体计算。综上所述，选项B是正确的。'
A:. B:. C:. D:.
AI参考:答案选C：是随机变量。根据题目所给的条件，{B(t); t≥0}是标准布朗运动，它是随机变量，所以<>的取值可以是任何实数，而不是一个具体的数值。因此，正确选项是C:. 。其他选项不符合题意。'
A:. B:. C:. D:.
AI参考:正确答案是B: .。根据题目所给条件，可知{Xn; n=0,1,…}是一时齐马尔可夫链，状态空间I={0,1,2,3}，一步转移概率分别为P(Xn+1=3|Xn=3)=0，P(Xn+1=3|Xn=2)=P(Xn+1=2|Xn=3)=P(Xn+1=2|Xn=2)=P(Xn+1=2|Xn=1)=P(Xn+1=1|Xn=2)=P(Xn+1=0|Xn=3)=P(Xn+1=0|Xn=2)=P(Xn+1=0|Xn=1)=2/3，故正确答案为B。'
A:1/9. B:5/18. C:1/3. D:4/9.
A:. B:. C:. D:. E:. F:.
A:只有2,3,4是暂留, 其它都是零常返的. B:共有四个互达等价类{1},{2,3,4},{5,6}和{7}. C:只有1,7是正常返. D:状态2的周期为1, 状态5的周期为2. E:共有三个互达等价类{1,2,3},{4,5}和{6,7}. F:2,3,4是暂留, 5,6是正常返. G:所有状态周期都是1. H:状态2和状态5的周期都是2.
A:. B:. C:. D:. E:.
AI参考:答案为A、B、C。解释：标准布朗运动是一个随机过程，它描述了悬浮在静止流体中的小颗粒的无规则运动。选项A、B、C都正确，因为标准布朗运动是一个随机过程，并且每个时间点上的运动都是独立的。选项D和E不正确，因为标准布朗运动并不是一个确定的数值，而是一个随机过程。'
A:在的条件下， 的条件密度函数为. B:仍是标准布朗运动.. C:. D:.
AI参考:正确答案是：BCD。根据题意，标准布朗运动是连续型随机变量，其概率密度函数为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}}e^{- frac{x^{2}}{2}}$，选项A中是连续型随机变量的条件概率密度函数，二者不相同，所以A错误；B选项是对的；由于题干没有说明的密度函数，选项C和D都是正确的。故选BCD。'
A:. B:. C:. D:.
A:错 B:对
AI参考:A选项错误。由题意可知，随机变量A和B都服从正态分布，它们的均值分别为1和0，但均值μ与随机变量B无关，所以它不具有各态历经性。因此，这个判断题是错误的。"
A:对 B:错
AI参考:答案是B:错。根据题目描述，三个图像的来源是独立的，但并没有说明它们是否符合马尔可夫链的性质，即下一个状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。因此，无法确定第三个图像是否是马尔可夫链。"
A:对 B:错
A:对 B:错
AI参考:题目描述中提到的图像文件链接和独立同分布的定义是毫无关系的。图像文件本身并没有统计性质或数学特性，无法直接归类为平稳过程。而平稳过程是一类常见的随机过程模型，它需要满足某些特定的统计性质。因此，给出的判断题是错误的。答案为B。"
A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。 根据题目描述，第一个图像是正态过程，而第二个图像的尺寸被指定为特定的宽度和高度，这可能暗示它是一个独立增量过程。但是，题目中并没有给出第三个图像的具体信息，无法判断它是否是独立增量过程。因此，该判断是错误的。"
A:错 B:对
AI参考:题目描述的情境是一个随机过程，涉及到随机变量的均值函数。由于题目中给出的信息不够明确，无法确定该过程是否为正态过程，以及其均值函数的具体形式。因此，无法做出正确的判断。 因此，正确答案是“A:错”。"
A:对 B:错
AI参考:对于给定的随机过程，我们需要明确它是否为离散或连续型随机过程，并且其状态转移的数目和转移概率等参数是否已知。在此问题中，题干给出的信息不足，我们无法确定具体的随机过程以及它的状态转移特性。因此，无法给出判断对错的选项。正确答案是“A:对”，但由于缺乏足够的信息，无法确定是否正确。"
A:对 B:错
AI参考:正确答案是B：错。 根据题目描述，独立同分布的三张图片尺寸不同，因此它们不能构成一个严平稳过程。严平稳过程要求各个样本之间的统计特性保持不变，即它们在时间和空间上的变化需要满足一定的规律，例如协方差和相关系数保持不变。在这个例子中，三张图片的尺寸不同，它们的统计特性无法保持不变，因此不能构成一个严平稳过程。"
A:错 B:对
A:对 B:错
AI参考:答案是B:错。根据题目描述，第一个图像被认为是正态过程，而第二个图像的尺寸被设定为固定的大小，这可能意味着它不是正态过程。因此，第二个图像不能被认为是平稳增量过程。平稳增量过程要求每个图像或数据点都独立于其他点，并且具有相同的统计特性。因此，这个判断是错误的。"
