浙江理工大学
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- 叙述并证明一维波动方程的齐次化原理。
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答案:
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答案:一维波动方程的齐次化原理是指，对于一维波动方程 \(u_{tt} = c^2 u_{xx}\)（其中 \(u(x,t)\) 是空间位置 \(x\) 和时间 \(t\) 的函数，\(c\) 是波速），如果能找到一个适当的变换将原方程转化为一个没有源项（即齐次形式）的新方程，那么原方程的解可以通过这个新方程的解来构建。 具体来说，考虑一维波动方程的非齐次形式 \(u_{tt} = c^2 u_{xx} + f(x,t)\)，其中 \(f(x,t)\) 是已知的源函数。齐次化原理指出，可以通过引入一个辅助函数 \(v(x,t)\) 来使问题齐次化，即令 \(u(x,t) = v(x,t) + w(x,t)\)，其中 \(w(x,t)\) 满足 \(w_{tt} = c^2 w_{xx} + f(x,t)\)，且 \(v(x,t)\) 解满足齐次波动方程 \(v_{tt} = c^2 v_{xx}\)。这样，原方程关于 \(u\) 的解就可以通过求解齐次波动方程关于 \(v\) 的解和非齐次波动方程关于 \(w\) 的解，然后相加得到。 证明过程涉及将 \(u\) 分解为 \(v + w\) 并代入原方程中，利用 \(v\) 和 \(w\) 分别满足的方程性质来验证这一转换的有效性。关键在于恰当构造 \(w(x,t)\) 以吸收非齐次项 \(f(x,t)\)，从而将原问题转化为两个熟知类型的方程求解问题。
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