第六章 线性空间：第六章 线性空间本章是线性代数的重要内容。它在自然科学和工程技术的许多领域有着较为广泛的的应用。线性空间的概念具体展示了代数的高度抽象性和应用的广泛性。初学者感到困难，不习惯从概念出发进行推理。本章涉及的概念多，要在理解的基础上搞清楚概念间的联系。本章主要内容有：线性空间的定义；维数、基与坐标；基变换与坐标变换；线性子空间；子空间的交与和；子空间的直和；线性空间的同构。6.1线性空间的定义与简单性质:6.1.1 线性空间的定义上首先通过一个很有意思的魔方：丢勒魔方，自然的吸引大家的兴趣。然后回顾我们非常熟悉的三个例子，分析总结共性，就自然的得到了线性空间的定义。最后小结一下定义的要点。6.1.2 线性空间的定义下上一节课，我们学习了线性空间的定义，这一节课我们通过一些具体例子来巩固线性空间的定义。然后作为线性空间的应用，我们讲一下交通流量问题，最后用线性空间的只是来回答丢勒魔方的问题。[单选题]复数域作为实数域上的线性空间,其维数是选项:[1, 4, 3, 2]
6.2维数、基与坐标:6.2.1 维数和基上生活中，其他学科中都有去繁就简的很多例子，那么对于线性空间，一个自然的问题是：一个线性空间的向量能否用尽可能少的向量来生成。我们先来玩一个游戏：在线性空间中找尽可能多的线性无关的向量组。由此自然得到线性空间的维数和基的概念。通过例子来巩固概念，并且发现概念去算维数有点繁琐，自然而然得到了计算线性空间维数与基的定理一，通过例题来巩固定理一的用法。对于线性空间，找出维数与基是这一章最重要的计算。6.2.2 维数和基下这一节我们先来欣赏一个维数与基的思想在生活中的的例子。然后通过一系列例题来巩固如何求维数和基。最后，我们用维数与基的只是完全解决了丢勒魔方的问题。6.2.3 坐标首先我们先来看看我们的骄傲：北斗卫星导航系统。那么北斗系统与我们这节有什么关系呢？我们发现，同一个向量在不同基下有两组坐标，那么两组坐标有什么关系呢？我们先通过一个简单例子去研究分析，发现两组坐标的关系。很自然的可以推广到一般情形。最后，讲了我们的坐标相关知识与北斗导航系统的关系。
6.3线性空间的定义与简单性质:6.3.1 线性子空间首先问一个化学中很重要的问题：如何配平化学方程式？通过观察几个例子，分析共性，自然的给出线性子空间的定义，给出线性子空间的判定方法，然后通过例子来巩固这种方法。然后讲解了如何配平化学方程式。最后为了大家几何直观上去理解线性子空间，我们找出了立体空间的所有线性子空间。6.3.2 生成子空间上我们先来欣赏几张图片，都是自然界很简单的事物生成复杂事物的例子，我们数学中也有类似的例子，那么自然的若干个向量能生成什么呢？我们从线性方程组开始，用线性组合的观点来看线性方程组，发现两个不共线的向量的所有线性组合是整个平面。然后矩阵中也有类似的结果。那么自然的，我们给出生成子空间的定义。最后通过两个例子来巩固定义。6.3.3 生成子空间下在上一节课我们学习了生成子空间的定义，这节课我们先来看一个生活中关于生成子空间的有趣的例子，然后研究生成子空间的维数和基。我们先通过一个简单的2维线性空间去研究，寻找线索。我们发现关键在向量组的极大线性无关组里。有了这个关键钥匙，我们就很自然的解决了生成子空间的维数与基的问题。6.3.4 扩基定理首先我们回顾一下哲学中整体与部分的关系，那么自然的线性空间与线性子空间有什么关系呢？通过观察几个例子，我们发现子空间的基可以扩充为线性空间的基。接下来就是证明。我们先处理一个特例，把它解决掉。特例的验证过程可以比较自然的推广到一般情形。
6.4线性空间的定义与简单性质:6.4.1 子空间的交与和上首先欣赏自然界中简单事物构造复杂事物的例子，回顾数学中类似的例子，那么两个线性子空间能构造出什么呢？显然两个线性子空间的交还是线性子空间。那么对偶的，两个线性子空间的并呢？还是线性子空间吗？不幸的是，有反例。我们通过研究反例为什么不是线性子空间，通过改进，可以找到一个线性子空间包含两个字空间的并。那么自然的我们得到子空间的和的定义。6.4.2 子空间的交与和下上节课我们学习了子空间的和这个定义，这节课我们看几个例子，并且讨论子空间的和的某些性质。我们通过定义来计算两个子空间的和，这两个例子都有很好的几何直观。那么自然的，没有很好的几何直观的时候，我们如何求子空间的和？通过观察前面两个例子，用生成子空间的语言重新写，就可以很容易的发现一个公式，证明是很自然的。最后看看生活中的例子。6.4.3 维数公式的探索及证明上首先我们回顾我们很熟悉的坐标轴、二维坐标系、三维坐标系，其高代本质就是子空间的和，那么自然的，给两个不那么直观的子空间，如何求子空间的和的维数与基？我们首先通过观察具体例子，分析数据，提出了一个猜想。但是马上有反例否定了猜想。然后细致分析反例，有分析数据，提出了新的猜想。最后看看生活中的两个例子，实际上是支持这个猜想的。6.4.4维数公式的探索及证明下在上一节课我们提出了一个猜想，这一节课我们尝试证明这个猜想。我们仍然从一个特例出发，通过扩基定理，找到4个子空间的基。然后我们发现，一般情形下的证明与特例的验证的几乎一样的。我们就完美的解决了这个问题。
6.5子空间的直和:6.5.1 子空间的直和首先欣赏一下几幅优美的建筑图片，再优美的的建筑也是由砖块构成的，并且有最经典的构造方法，那么自然的，由两个子空间构造新的空间，哪一种最简单经典呢？我们回顾几个子空间的和的例子，分析一下向量分解的唯一性，找出共性，就可以发现有一类分解是很特别的，那么自然的给出子空间的直和的定义。接下来，根据例子启发，给出两个子空间直和的判定定理。
6.6线性空间的定义与简单性质:6.6.1 线性空间的同构上首先看几幅图片，看起来很不一样，但是从化学的角度来看，它们本质是一样的。自然的，线性空间看起来互不相同，有没有可能其内在本质是一样的呢？我们先考虑最简单漂亮的n维线性空间：n维向量空间，发现任意一个n维线性空间可以通过坐标与其建立映射，并且此映射具有很好的性质：双射、保加法、保数乘。6.6.2 线性空间的同构下在上一节我们得到一个映射，有很好的性质，那么自然的我们把性质抽象出来，就得到同构的定义。任意两个n维线性空间都与n维向量空间同构，那么自然的这两个n维线性空间同构吗？通过证明，发现是同构的。并且是否同构完全只取决于维数。最后小结了两个线性空间同构，会有哪些性质可以得到保持。
[单选题]线性空间
的维数是选项:[1, n, n-1, n+1]
[判断题]平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间。选项:[错, 对]
[判断题]数域P上2级矩阵构成的线性空间V中，任意5个矩阵都线性相关。选项:[错, 对]
[判断题]设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组
，线性表出，则维
。选项:[对, 错][判断题]线性空间的一组基所含向量的个数是该空间的维数选项:[错, 对]
[单选题]对齐次线性方程组
（）是它的一个基础解系。选项:[
, 
, 
, 
][判断题]数域P上n元齐次线性方程组的解集对于n维向量的加法和数乘法构成数域P上的线性空间选项:[对, 错]
[判断题]
中次数于n(n≥1)的多项式的全体构成的集合,按多项式的加法与数乘法构成数域上的线性空间。选项:[对, 错]
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