第八章 欧几里得空间：第八章 欧几里得空间欧氏空间是实数域上带有一个内积的线性空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换。本章主要内容有：欧氏空间的定义和基本性质；标准正交基及求法；正交变换与正交矩阵。8.1定义与基本性质:8.1.1 欧几里得空间的定义上我们首先从字面上来看，欧几里得是大几何学家，空间我们最熟悉的是线性空间，两者结合起来，我们发现线性空间很容易刻画平面几何中的平行，但是无法刻画垂直。怎么办呢？增加运算。回顾我们中学所学，发现内积能很好的刻画角度。我们用现代的语言重新解释这些，加以抽象，就得到了欧几里得空间的定义。最后讲一下定义的要点。8.1.2欧几里得空间的定义下在上一节课，我们学习了欧几里得空间的定义，这节课我们就讲几个欧几里得空间的例子，让大家巩固概念。我们发现同一个线性空间，可以定义不同的内积，并且导致圆的两种不同形状，很有意思。最后，讲讲非欧几何的故事，体会一下几位大数学家的思维杰作。[单选题]
8.2标准正交基:8.2.1 标准正交基上首先我们讲一个大数学家高斯的故事：高斯1801年正确的预测了谷神星的轨道。那高斯怎么做到的呢？接下来我们先欣赏一下生活中的正交之美。玩一个游戏：在欧氏空间中找尽可能多的正交向量。自然的给出正交基和标准正交基的定义，最后讲解标准正交基有了之后的好处：能极大地简化计算。8.2.2标准正交基上在上一节课中，我们学习了标准正交基的定义，知道标准正交基的关键是正交基。那么一个自然的问题是：一个欧氏空间一定有正交基吗？如果有，怎么找出来？这就是我们这节课要研究的问题。我们受到投影启发，一步一步的把正交基构造出来，非常几何直观。最后我们讲高斯定义的最小二乘法，成功的预测了谷神星的轨道。最小二乘法另一个应用就是我们的骄傲：北斗卫星导航系统。
8.3正交变换:8.3.1 正交变换 首先我们先欣赏几个常见的线性变换，发现有的线性变换保持长度，有的保持，那么自然的我们把保持长度的线性变换取个名字，我们就得到了正交变换的定义。接下来，正交变换、标准正交基、正交矩阵都有正交两个字，我们研究它们之间的联系。 最后讲正交变换的一个很有用的应用：数据降维。
分别为实对称矩阵A的两个不同特征值
,
所对应的特征向量，则
与
的内积（）=选项:[1, 0, 无法确定, -1] 
[单选题]下述结论中，不正确的有（ ）选项:[若向量
与向量
都正交则 与的任一线性组合也正交。, 若向量
与 正交则对任意实数
与
也正交。, 若向量
与任意同维向量正交则
是零向量。, 若向量与 正交则
中至少有一个是零向量。][单选题]下列说法不正确的是选项:[线性无关向量组不含零向量, 正交向量组必定线性无关, 正交向量组不含零向量, 线性无关向量组必定正交 ]
[单选题]设向量
，若
与
正交时，k = ( )选项:[-1, 1, -3, 3][单选题]设
是三个 n 维实向量，下列式子中表示向量的( )选项:[
, 
, 
, 
][判断题]欧氏空间中自己与自己正交的向量一定是零向量？选项:[对, 错]
[判断题]线性空间能刻画垂直？选项:[错, 对]
[判断题]欧式空间两组标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵？选项:[错, 对]
[判断题]3维欧氏空间中存在4个非零向量彼此正交？选项:[对, 错]
[单选题]下列向量中，（ ）是单位向量。选项:[
, 
, 
, 
]
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