第五章 二次型：第五章 二次型二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类。用矩阵方法来研究n元二次齐次多项式是中学数学有关知识的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。本章主要内容有：二次型的矩阵表示；化二次型为标准形；正定二次型。5.1二次型及其矩阵表示:5.1.1 二次型及其矩阵表示上首先通过回顾二次曲线分类的主要思路，自然的引出二次型的概念。通过观察二次型，发现可以得到一个对称矩阵，最后通过一些例子来巩固如何通过二次型来得到一个对称矩阵。5.1.2 二次型及其矩阵表示下首先我们先来看看怎么从一个对称矩阵去得到一个二次型。发现二次型和对称矩阵互相唯一决定。然后我们用矩阵语言重新来看我们初中所学的配方，发现一个二次型经过非退化线性替换，得到一个新的二次型，自然的得到矩阵合同的定义。[判断题]A为正定矩阵，则对任意正整数k,
5.2标准形:5.2.1 二次型的标准形上通过一个有意思的问题：如何判断一个二次曲线的形状？作为引入。在上一节课，我们学习了：一个二次型经过非退化线性替换，得到一个新的二次型。那么自然的，什么样的二次型是我们的目的呢？仍然通过观察二次曲线的例子，发现平方项起决定作用，那么自然的我们喜欢只含平方项的二次型。最后通过几个例子，说明怎么配方把一个二次型化到标准形。5.2.2 二次型的标准形下这节课主要讨论一个问题：一个二次型经过非退化线性替换，得到一个新的二次型，那么两个二次型的取值有什么关系。通过特例分析，发现两个二次型相应的取值后，得到的二次型的值相等，然后对一般的情形证明了这一结果。我们知道，二次型的标准形取值是非常简单的，这在很大程度上决定了：搞清楚标准形，就搞清楚了二次型。
5.3正定二次型:5.3.1 正定二次型上首先看一个很有意思的故事：2006年谷歌公司和斯坦福大学做了一个很有意思的研究，多少台电脑可以识别一只猫？那么这个与我们今天的课有什么关系呢？然后回顾二次曲面分类，高斯在1801年提出了正定型的概念。那么如何判断一个二次型是否正定呢？首先我们很容易确定一个二次型的标准形什么时候正定。那么关键的，二次型的正定性与二次型标准型的正定性有什么关系呢？通过特例分析，通过验证，我们发现它们之间是充分必要的关系。5.3.2 正定二次型下利用上节课的定理，我们很容易得到二次型正定型的判定定理。利用这个定理，我们可以对二次型进行分类。然后详细介绍了分类思想。最后大致介绍了正定性与多少台电脑可以识别一只猫的关系。
5.4二次型复习:5.4.1 二次型复习这节课我们对三种最典型的二次型做一个梳理和总结：正定二次型，半正定二次型，不定二次型，把它们的标准形和规范形都搞清楚。作为应用，我们证明一道很经典的二次型证明题，最后我们借用数分的思路和方法给出另外一种很漂亮的证法。数分高代是一家。
也是正定的。选项:[错, 对] 
[判断题]
是正定二次型。选项:[对, 错][单选题]二次型
, 当（ ）时，二次型
必是正定型。选项:[k ＞2, k ＞0, k =1, k ＞1][单选题]矩阵
对应的二次型为选项:[
, 
, 
, 
][单选题]二次型
的标准形是选项:[
, 
, 
, 
][判断题]A 为n阶对称矩阵，且对任意n维向量X ,都有
,则 A=0 。选项:[对, 错][判断题]非退化线性替换非退化线性替换改变二次型的正定性
选项:[对, 错]
[单选题]二次型
的秩等于选项:[1, 3, 2, 0][判断题]若数域 p 上二次型 f 与 g 等价,则 f 与 g 的秩相等反之也成立 选项:[错, 对]
[判断题]设
实矩阵则
， 
都是对称矩阵。选项:[对, 错]
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