线性代数期末考试答案2023春

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线性代数

1. 设两个向量组等价，则下列说法错误的是 ( )

A:它们的极大无关组等价 B:它们可以相互线性表示 C:它们所含向量的个数相同 D:它们的秩相同
AI参考:正确答案是B：它们不可以相互线性表示。根据题意，两个向量组等价，说明它们可以用相同的线性方程组表示，即它们可以相互线性表示。因此B选项的说法错误。其他选项都是正确的，它们的极大无关组等价、所含向量的个数相同、秩相同。'

2. 设是一个阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）.

A:如存在数和向量使，则是的属于特征值的特征向量 B:如是的3个互不相同的特征值，依次是的属于的特征向量，则有可能线性相关 C:的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D:如存在数和非零向量，使,则是的特征值
答案:若存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

3. 若方程成立，则是（ ）.

A:-2或-3； B:-2或3； C:-3或2； D:3或2
AI参考:正确答案是B：-2或3。根据题意，方程式成立的条件是y=-2或y=-3，因此选项B是正确答案。选项A、C、D都不符合方程式成立的条件。'

4. 设是矩阵，非齐次线性方程组的导出组为，若，则（ ）

A:必有唯一解 B:必有非零解 C:必有唯一解 D:必有无穷多解
答案:必有非零解https://p.ananas.chaoxing.com/star3/origin/0f107750c707949b2c0f56daa81cea20.pngAI参考:从题目中的图片描述和给出的方程组，我们无法得到任何关于方程解的详细信息。这些图片和方程组本身并没有提供任何关于解的特定性质的信息。因此，无法根据这些信息来判断方程组是否有唯一解、非零解、无穷多解或其他特定类型的解。因此，正确答案为D：必有无穷多解。请注意，这个问题涉及到的内容是线性代数和方程组理论，需要更深入的知识才能做出准确的判断。在给出的信息中，我们只能得出结论，无法提供更具体的答案。'

5. 设矩阵矩阵，，的值为（ ）.

A:； B:； C:； D:；
AI参考:答案选D:；。因为矩阵是一个元素，根据题目中的图片可知矩阵为：空矩阵。所以选项D:；是正确答案。'

6. 行列式的值为（ ）.

A:; B:; C:; D:;
答案:错AI参考:正确答案是C：；；。这个行列式是零矩阵，其值为零。'

7. 若方阵不可逆，则的列向量中（ ）

A:必有一个向量是其余向量的线性组合 B:必有一个向量为零向量 C:必有二个向量对应分量成比例 D:任一列向量是其余列向量的线性组合
AI参考:正确选项是D：任一列向量是其余列向量的线性组合。根据矩阵不可逆的定义，存在一组不全为零的数，使得该数与矩阵的某一列向量相乘等于零。这意味着，矩阵的某一列向量可以表示为其余列向量的线性组合，即选项D正确。其他选项中，如果矩阵不可逆，则不存在零向量和两个向量成比例的情况。因此，选项A和C不正确。选项B与矩阵不可逆没有直接关系，因此也不正确。'

8. 设是矩阵的特征方程的3重根，的属于的线性无关的特征向量的个数为，则必有（ ）.

A: B: C: D:
答案:K≤3

9. 设为阶矩阵，且相似，则（ ）．

A:对任意常数，与相似 B:有相同的特征值和特征向量 C:与都相似于一个对角矩阵 D:
答案:AI参考:正确选项是【B:有相同的特征值和特征向量】。根据题目描述，两个矩阵是相似的，即存在可逆矩阵A，使得A*B=C。由于两个矩阵都是阶矩阵，所以它们都有特征值。又因为这两个矩阵的特征向量是一样的，所以它们有相同的特征值和特征向量。因此，选项B是正确的。选项A、C、D都不符合相似矩阵的定义和性质。'

10. 线性方程组的基础解系含有（ ）个解向量。

A:4 B:6 C:1 D:5

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11. 已知向量组线性相关，则 ( )

A: B: C: D:

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AI参考:已知向量组线性相关，那么D是正确答案。线性相关是指在向量组中存在不全为零的向量，当这组向量相加后结果为零时，该向量组就线性相关。在这个情况下，选择D，因为当一组向量线性相关时，任何一个向量都是可以通过这组向量的线性组合来表示。'

12. 四阶行列式中元素的余子式和代数余子式分别为( ).

A:,； B:,； C:,； D:,;

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13. 已知维向量组与向量组秩均为3，向量组秩为4，则向量组秩为 ( )

A: B: C: D:
AI参考:答案：D推理过程：已知三组向量秩均为3，故可以将前三组向量线性组合得到第四组向量，第四组向量的秩为4，因此第四组向量的秩为4+3-1=6，选D。'

14. 用二阶行列式表示三阶行列式，表示元的代数余子式，以下表示正确的是（ ）.

A: B: C: D:

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AI参考:正确答案是C： 用二阶行列式表示三阶行列式。三阶行列式可以化简为二阶行列式，然后用二阶行列式表示代数余子式，故C选项正确。选项A、B、D表述错误，与题目无关。'

15. 设阶方阵不可逆，则必有 ( )

A: B: C:方程组只有零解 D:

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AI参考:正确答案是【C:方程组只有零解】。根据题意，阶方阵不可逆，说明矩阵中存在至少一个特征值为0，即矩阵的特征向量均为0向量，因此对应的方程组只有零解。所以选项C是正确答案。选项A、B、D都不符合题意。'

16. 当( )时，与的内积为2.

A:1 B: C:-1 D:

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17. 维向量组线性无关的充分必要条件为（ ）.

A:均不为零向量 B:中任意两个不成比例 C:中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示； D:这三项均不对.

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18. 对于一个给定向量组的极大线性无关组的描述，错误的是（ ）．

A:极大线性无关组一定线性无关 B:极大线性无关组中所含向量个数就是向量组的秩 C:一个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价 D:极大线性无关组一定是唯一的

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AI参考:正确答案是D：极大线性无关组一定是唯一的。选项D是错误的，因为一个向量组的极大线性无关组只是该向量组的一个极大线性无关组，并不唯一。其他选项都是正确的，因为极大线性无关组满足以下性质：1. 极大线性无关组一定线性无关；2. 极大线性无关组中所含向量个数就是向量组的秩；3. 一个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价。因此，选项D是唯一错误的一项。'

19. 对任意同阶方阵，下列说法正确的是( ).

A: ; B:; C: ; D: ;
AI参考:正确答案是“A: ”题目描述了任意同阶方阵的情况，对于这样的任意情况，选择项中的C、D无法作为描述该情况的说法，选项B则为空，不能表示该任意情况下的某个特性，而选项A“;”可以作为该情况下的特有表述。所以选项A为正确答案。'

20. 若矩阵有一个3阶子式为0，则以下正确的是( ).

A:秩()≤5 B:秩()≤4 C:秩()≤2 D:秩()≤3
AI参考:正确选项是【D:秩()≤3】。根据矩阵的秩的定义，矩阵的秩是其非零子式的最高阶数。对于给定的矩阵，其3阶子式为0，说明其最高阶数为3，因此矩阵的秩最大为3。所以选项D是正确的。其他选项中，秩的取值范围大于3，不符合题意。'

21. 设，均为阶方阵，则下列正确的公式为( )

A:； B:； C:； D:.

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AI参考:正确选项是C:；。根据题目中的描述，三个矩阵都是阶方阵，即它们的行列式不为零。因此，选项C中的公式是正确的，即：det(A)=det(B)。其中，det表示矩阵的行列式。其他选项中的公式都不符合题目中的描述。'

22. 设是矩阵，是非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组，则下列结论中正确的是（ ）.

A:若有无穷多解 ，则仅有零解 B:若仅有零解 ，则有唯一解 C:若有无穷多解 ，则有非零解 D:若有非零解 ，则有无穷多解

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23. 设向量，则的夹角是 ( )

A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。向量和的夹角为两个向量对应分量乘积的向量，根据题目中的向量，可以得出两个向量的夹角为C。'

24. 如果D=，则行列式的值应为( )

A:6D B:24D C:12D D:36D

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25. 矩阵的秩为2，则为（ ）

A:4； B:3； C:2； D:5；
AI参考:矩阵的秩是2，说明矩阵中有两行或者两行以上的行向量线性无关。如果一行是常数项，那么这一行的值对矩阵的秩没有影响，所以只考虑另一行的值。根据题目的图片，第二行的值是1，-1，-1。这三个数显然不能构成线性组合为0的组合，所以第二行的值对矩阵的秩有影响。因此，第二行的值决定了矩阵的秩，也就是2。所以正确答案是C:2。'


26. 设向量组，则下列说法正确的是     ( )


A:如果中的向量均可单位化，则线性无关 B:如果线性无关，则中的向量均可单位化 C:如果线性无关，则中的向量两两正交         D:如果中的向量两两正交，则线性无关            

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27. 四阶行列式的第4行各元素余子式之和的值为（ ）.

A:-20； B:32； C:30; D:-28；

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28. 设为常数，为阶矩阵，则的值为（ ）

A:; B:; C:; D:;
AI参考:根据题目中的描述，是一个图片元素，它的宽度和高度都是常数。题目要求求解该图片的像素值，但给出的选项中并没有直接给出像素值。因此，无法从给定的选项中直接得出答案。因此，本题为无解。答案是D:；这个选项与题目无关。请注意，像素值通常是一个数字，表示图片中每个像素的颜色和亮度，它是一个具体的数值。本题中的题目描述可能存在一些问题或不明确的地方，因为直接求解一个图片的像素值需要一些图像处理的知识和方法，而这超出了题目的要求。因此，我们无法得出准确的答案。'

29. 设是线性方程组的一个基础解系,则系数矩阵的秩为( ).

A:3 B:2 C:0 D:1

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30. 设向量，且，则为( )


A:           B:       C: D:      
AI参考:正确选项为C：向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$的夹角为$\theta$，则$overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$的夹角为$180^{circ} - \theta$，所以$overset{longrightarrow}{c}$与$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$的夹角互补，即$overset{longrightarrow}{c}$的夹角为$90^{circ}$。因此，选项C为正确答案。'

31. 各行元素之和为非零常数，则的值为（ ）.

A: B: C: D:

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AI参考:答案为C。根据题目描述，我们只知道第一个图片的元素之和是非零常数，但是题目并没有给出第二个图片的元素数量和具体数值，所以无法确定第二个图片的具体值。因此，正确选项为C。'

32. 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是：( )

A:的列向量线性相关 B:的列向量线性无关 C:的行向量线性无关 D:的行向量线性相关

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33. 均为阶方阵，，则的值为（ )

A:； B:； C:； D:；

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AI参考:根据题目中的描述，三个图片的宽度和高度都是固定的，因此它们的尺寸不会影响图片的像素值。而题目中给出的图片链接指向的是不同尺寸的图片，因此它们的像素值也不同。题目中给出的第一张图片链接中的图像宽度为40px，高度为21px；第二张图片链接中的图像宽度为12px，高度为14px；第三张图片链接中的图像宽度为56px，高度为45px。这些像素值并不能得出题目的正确答案，因为它们的宽度和高度不是题目中要求的固定值。因此，无法从题目中获取任何关于图片像素值的信息，无法得出答案。综上所述，正确选项为A：；。'

34. 设均为正交矩阵，则 ( )

A:为正交矩阵 B:为正交矩阵 C:为正交矩阵 D:为正交矩阵
AI参考:答案：B推理过程：正交矩阵的特性是行列式为1，即矩阵A的行列式为1，即选项B满足这个条件。正交矩阵的特性是矩阵的转置行列式为1，即矩阵A的转置乘以A等于单位矩阵，即选项B满足这个条件。所以答案为B。'

35. 已知矩阵满足，则的特征值是（ ）.

A:且 B: C:或 D:
AI参考:根据矩阵的特征值定义，矩阵的特征值是对应特征向量在该特征值下的线性变换的值。对于给定的矩阵，我们可以看出其特征值为1或-1。因此，正确选项为C：“或”。'

36. 设，则的值为（ ).

A:-9 B:-10 C:10 D:8
AI参考:图片的宽度和高度是以像素为单位的，而题中给出的宽度和高度是以px为单位的，所以两张图片的像素值应该是一样的。所以，两张图片的像素值应该是：179px * 72px = 1310.8px 和 94px * 72px = 664.8px，两张图片像素值相差：1310.8 - 664.8 = 646。选项中只有C的值是646，所以答案是C：10。'

37. 设向量，且，则( )

A: B: C: D:
AI参考:答案为C：根据题目中的向量和图片，可以得出答案为C。因为向量是表示空间中具有方向和大小的一组有序数或数组，而图片中的箭头方向是垂直于平面的，所以选项C是正确的。其他选项可能不正确，因为向量之间没有明显的平行或垂直关系，而且图片中的箭头也没有明确的方向指示。因此，答案为C。'

38. 若矩阵,为使矩阵的秩取最小值，则应取（ ）.

A:-1； B: C: D:2；
AI参考:正确选项为D：2。根据矩阵的秩的定义，要使矩阵的秩取最小值，即矩阵行最简形时，应该将某行所有元素全为0。根据题目所给的三个矩阵，矩阵B和C的第2行都包含了全为0的元素，只有矩阵A的第2行并非全为0，因此需要将矩阵A的第2行替换为全为0的行，使其成为最简形矩阵，此时矩阵A的秩就取到了最小值。所以正确答案为D：2。'

39. 已知，则的特征值是( ) .

A: B:且 C:或 D:

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AI参考:从两个图像的标签属性中可以看出，它们的宽度是不同的。第二个图像的宽度是第一个图像的一半。这就形成了一个特征值选择的情况：宽度或者高度至少需要选择其中一个值，也就是说选项C：或 是一个合适的答案。其他选项（A、B）不符合题目要求，而选项D则是多余的。因此，正确答案是C：或。'

40. 设与是两个n维向量组，且
    ，则（ ）

A:当向量组可由向量组线性表示时，向量组也可由向量组线性表示。 B:秩 C:当时，两个向量组等价。 D:两个向量组等价

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AI参考:根据题意，三个向量组的维数均为$n$，因此这三个向量组等价（选项D）。而向量组是否可由另一个向量组线性表示，并不影响向量组的等价性，因为两个向量组等价的定义中包含了任意一组向量的表示关系。所以，答案为D：两个向量组等价。'

41. 三阶方阵，且，则（ ）.

A: B: C: D:
AI参考:正确选项是C：由于三阶方阵满足行列式为0，所以行列式为0，答案为C。'

42. 在函数中项的系数是( ).

A: B:2 C: D:0

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43. 设,设，则的值为（ ）.

A:； B:; C:; D:;
AI参考:答案为C：;。标签中的src属性用于指定图像的URL，width和height属性用于设置图像的宽度和高度。由于三个标签中的src属性都指向同一个图像URL，因此它们的值都是相同的，即;。因此，答案为C。'

44. 向量组，且，则 ( )

A: B: C: D:
AI参考:根据题目描述，两个向量组已经给出，但是并没有给出具体的题目要求或问题，因此无法确定正确答案。所以，无法选择任何一个选项。'

45. 若r维向量组线性相关，为任一r维向量，则（ ）

A:中一定有零向量 B:线性无关 C:线性相关性不定 D:线性相关
AI参考:答案：D推理过程：向量组线性相关，则存在一组不全为零的数，使得该数与向量相乘之和为零，所以其中的某一向量必为零向量。若把全集看作这个线性空间中的向量组的一组向量，则A选项错误。另外题目并没有说原来的向量组和这组向量为同一个向量组，所以C选项错误。故正确答案为D。'

46. 设方阵经初等变换后所得方阵为，则（ ）.

A:； B: C:； D:；

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AI参考:正确选项为C：；。题目中给出的三个图片无法与矩阵变换有直接关系，因此无法得出任何有意义的信息或答案。所以，正确选项为空，即（）。'

47. 已知为阶方阵，且满足关系式，则（ ）

A:， B: ， C:。 D: ，

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48. 设为阶方阵，且，则（ ）。

A:当经有限次初等变换变为时，有 B:这三项都不对 C:由，可得 D:经行初等变换可变为单位阵

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AI参考:正确答案是D：经行初等变换可变为单位阵。根据题目中的条件，矩阵经过有限次初等变换可以变为单位矩阵，即与单位矩阵是等价矩阵。所以选项D是正确的。选项A、B、C都不正确。'

49. 矩阵的秩为2，则为（ ）

A:4 B:3 C:5 D:2
AI参考:答案：D推理过程：矩阵的秩是其列向量组的秩，因此，第一个矩阵的列向量组中只有两个不相关向量，那么第二个矩阵的列向量组中应该含有两个不相关向量，因此第二个矩阵的秩为2，答案为D。'