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概率论（上海财经大学）
- 对随机变量
来说，如果
,则可断定不服从（ ） - 设随机变量
服从泊松分布，若
，则
（ ） - 若随机变量
，则
（ ）. - 设
为两个随机事件，
，则
（ ） - 若
是两个任意事件，且
，则（ ） - 设随机变量
与
的相关系数为0.9，若
，则与
的相关系数为（ ） - 设
相互独立同分布，且
，则
（ ） - 任何一个连续型随机变量的概率密度函数（ ）
- 设
，则下列结论中正确的是（ ） - 某种诊断方法，依过去的经验知道，患癌症的人经过检验之后，发现有癌症的机率为 90％；不患癌症的人经过相同的检验，发现有癌症的机率为 5％。现在有一群人，设有 20％的人患有癌症，从这群人中任选 1 人加以检验，若检验出有癌症，而此人确实患有癌症的机率为（ ）。
- 对于任意二事件
和
，与
不等价的是（ ） 
为事件的概率，求一元二次方程
有实根的概率（ ）- 某公司分别从甲、乙、丙、丁四家厂购入同一产品，数量之比为9:3:2:1，已知四家厂次品率分别为1%，2%，3%，1%，现随机取到一件次品，最有可能是哪一家？（ ）
- 设
，
，且
,
相互独立,令
则由中心极限定理知
近似服从的分布是（ ） - 下列命题正确的是（ ）
- 已知
是随机变量，且
，
为常数，则
（ ） - 设随机变量
的数学期望
，且
，则
（ ） - 已知随机变量
的方差为4，则由切比雪夫不等式估计概率
（ ） - 一批零件，合格品占92%，一检验员随机地取一件进行检验，合格品误检为不合格品的概率是0.05，而不合格品误检为合格的概率是0.1，求当产品检为合格时，实际取的是不合格品的概率（ ）.
- 设
是三个随机事件，
，
则至少发生一个概率为（ ） - 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中60发～100发的概率可近似为( ).
- 设随机变量
的概率密度为
，以
表示对的三次独立重复观察中事件
出现的次数，则
（ ） - 设为任意两个事件，则下列关系式成立的是（ ）
- 设随机事件两两互斥，且
，
，
，则
（ ）. - 已知
为一完备事件组，且
0.1，则
（ ） - 设
为三个事件，已知
，则
（ ） - 设
，则
（ ） - 设随机变量
服从二维正态分布，且
和
不相关，
分别表示，的概率密度，则在
的条件下，的条件概率密度
为（ ） - 设
为任意三个事件，则与
可能存在交集的事件为 （ ） - 已知随机变量
与
的分布律为：
且已知
，则下列结论正确的有（ ） - 设
是相互独立的随机变量序列，
服从参数为
的指数分布
，则下列中服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是（ ） - 设
为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为
的泊松分布，记
为标准正态分布函数，则下列正确的是（ ） - 下列是概率密度或分布函数的有（ ）
- 设随机变量
相互独立,且
， 
，则（ ） - 事件
发生的概率为零，则（ ） - 设事件
与
互不相容，则有（ ） - 设随机变量
的概率密度
，则下列说法正确的有（ ） - 设随机变量
的分布函数为
，则下列说法正确的有（ ） 
是同分布相互独立的随机变量，
，则下列正确的是（ ）- 设
互不相容，
，则下列结论肯定正确的是（ ） - 设
为随机事件，已知
，且
，则下列说法正确的是（ ） - 已知离散型随机变量
服从参数为
的泊松分布，则利用切比雪夫不等式估计概率
。（ ） - 设随机变量
与
相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记
，则
的概率密度
。（ ） 
为连续型随机变量，且概率密度满足：当
时，
，则
。（ ）- 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个，则取到的两个球颜色不同的概率为
。（ ） - 若
与
独立，则
与
独立。（ ） - 设随机变量
和
相互独立且同分布，
，则
。（ ） - 若
，则
一定是空集。（ ） - 已知随机变量
的矩母函数为
，则服从参数为
的泊松分布。（ ） - 设随机变量
服从泊松分布，且
，则
。（ ） - 若与互斥，则
。（ ） - 设随机变量和的方差存在且不为零，若
成立，则和一定不相关。（ ） - 设随机变量
服从参数为2的指数分布，则
在区间（0,1）上服从均匀分布。（ ） - 设
独立同分布，都服从指数分布
,则
服从伽马分布
。（ ） - 设随机变量的概率密度函数为
，
相互独立且与同分布，则
。（ ） - 设
表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，其对立事件
为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。（ ）
A:正态分布 B:泊松分布 C:二项分布 D:指数分布
AI参考:正确选项为B：泊松分布。根据题目描述，随机变量X服从一个概率分布，其期望E(X)为λ，方差Var(X)为λ。如果随机变量X服从泊松分布，则期望E(X)为λ，方差Var(X)为λ*μ（μ为泊松分布的形状参数）。因此，根据题目描述，可以断定不服从正态分布、二项分布和指数分布，只有泊松分布符合题意。'
A: B: C: D:
答案:一对同源染色体群上出现的交换次数;染色体异常的胎儿;田间某种杂草的数量AI参考:正确答案是C。根据泊松分布的定义，随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其中λ是泊松分布的期望值。因此，根据题目中的描述，随机变量X服从泊松分布，且λ的值为5，所以期望值为5。所以正确答案为C。'
A: B: C: D:
AI参考:正确选项为C：根据题目描述，随机变量是一个图像，无法对其进行数值分析或比较。因此，无法确定其取值范围或与其他选项的关系。因此，无法得出答案。因此，本题选C。'
A:0.6 B:0.2 C:0.4 D:0.8
答案:同时发生AI参考:答案：A推理过程：从
到，宽度增加了36.0pt到181.5pt，高度增加了17.25pt到17.25pt，增加的宽度是高度的多少倍呢？(181.5-36)/17=9.6，所以从第一个到第二个事件发生的概率为9.6/36=0.28，从第二个到第三个事件发生的概率也是0.28，所以两个事件同时发生的概率为0.28*0.28=0.0784≈0.6。所以答案是A。'A:是不可能事件 B:与互斥 C:未必是不可能事件 D:或
AI参考:正确选项：C:未必是不可能事件。题目中给出了两个事件，一个是
，另一个是。由于题目没有给出这两个事件之间的关系，因此无法确定它们是否是互斥事件或对立事件。同时，由于题目中没有提到这两个事件是否为必然事件或不可能事件，因此也无法确定答案。因此，正确答案是C：未必是不可能事件。'A:0.4 B:0.9 C:0.81 D:0.5
答案:0.9AI参考:选项C是正确答案。由于已知第一个随机变量与第二个随机变量的相关系数为0.9，而第二个随机变量与第三个随机变量的相关系数为0.5，因此可以推断出第二个随机变量与第三个随机变量之间的相关系数为0.4。因此，正确答案是C。这可以用以下公式得出：r2=(R1×R3)/(r4-r5)。在这里，r1是已知的第一个随机变量与第二个随机变量的相关系数，r3是第二个随机变量与第三个随机变量的相关系数，r4是第二个随机变量与其自身相关系数的平方（通常是1），r5是第三个随机变量与其自身相关系数的平方。将所有数值代入公式后，得出相关系数为0.4。'
A:=0 B:=1 C:不存在 D:=0.5
答案:1AI参考:图片的大小不能互相独立，也就是说一个图片的大小会影响到其他图片的大小。具体来说，在这个题目中，已知前两张图片大小分布独立同分布，第三张图片的大小会受到前两张图片大小的影响。而无法根据前两张图片的大小预测第三张图片的大小。所以正确答案是C:不存在。'
A:可导 B:非负且不大于1 C:是可积的非负函数 D:连续
答案:正确AI参考:任何一个连续型随机变量的概率密度函数是可积的非负函数。因此，正确选项是C：是可积的非负函数。概率密度函数在连续型随机变量中扮演着非常重要的角色，它描述了随机变量取值落在某个区间内的概率，并且满足非负性和积性两个基本性质。任何一个连续型随机变量的概率密度函数都必须满足这些性质，因此选项C是正确的。'
A:事件互逆 B: C:事件相互独立 D:事件互不相容
AI参考:正确选项是C:事件相互独立。根据题目描述，
是一个事件，它表示在某个时间点，某个图片的加载情况。选项A、B、D都与该事件的具体情况无关，因此不正确。选项C表示两个事件之间相互独立，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率，也不会影响另一个事件的后果。在本题中，加载图片的事件与页面展示的内容事件是相互独立的，因为图片加载不影响页面的展示内容，页面的展示内容也不受图片加载的影响。因此，选项C是正确的。'A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D：依过去的经验，确实患有癌症的人经过检验之后发现有癌症的机率为5%，但在这群人中，还有相当大的一部分并未患有癌症，但却检验出有癌症。在全体的人群中，由于检验后有90%的患癌人会被检验出来，所以实际患有癌症的人会高于5%的机率。因此，如果从这群人中任选一人加以检验，检验出有癌症，而此人确实患有癌症的机率为高于5%。故本题应选D。'
A: B: C: D:
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是【B】。一元二次方程有实根的概率可以用“配方法”把方程化为顶点式，这样，方程有实根的概率就等于以原点为圆心，以方程的根的判别式为半径的圆的面积与以原点为圆心，以方程的系数绝对值为半径的三个圆的面积之和的比值。所以选择B选项。'
A:丙 B:丁 C:甲 D:乙
A: B: C: D:
A:由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律 B:由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律 C:由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律 D:由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律
AI参考:正确答案是C:由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律。辛钦大数定律可以推出切比雪夫大数定律，因此选项C是正确的。而选项A、B、D都是错误的，因为伯努利大数定律与切比雪夫大数定律之间没有直接的联系。'
A: B: C: D:
AI参考:正确选项为C：
根据题目给出的信息，是随机变量，且其余三个图像为常数。因此，当已知第一个图像尺寸时，其余三个图像的尺寸也会随之确定。由于给出的信息中并没有关于第二个图像的具体尺寸信息，所以无法确定第三个图像的尺寸。但是已知第一个图像的尺寸为15.0pt，而第四个图像的尺寸为9.75pt，它们与第二个图像之间的差距相对较大，因此可以推断出第二个图像的尺寸应该比第一个图像大得多。综上所述，选项C为正确答案，即第三个图像的尺寸为54.75pt。'A:75 B:5 C:10 D:20
AI参考:正确选项为D:20。根据题目给出的条件，随机变量的数学期望为E(X)=15+16+a，其中a为常数。由于题目没有给出a的具体值，因此无法确定E(X)的值。但是，由于题目中还给出了另一个随机变量的数学期望为E(Y)=15+b，其中b为常数。根据题目中的条件，可以得出E(X)-E(Y)=a-b=7，因此可以得出a=7+b。将a的值代入E(X)=15+16+a中，可得E(X)=20。因此，选项D为正确答案。'
A: B: C: D:
A:0.05 B:0.009 C:0.01 D:0.08
A: B: C: D:
AI参考:答案是D。由于事件之间的关系未知，我们无法给出具体的概率值。在这种情况下，答案D是一个估计值，表示该事件至少发生一个的概率。解释：由于三个事件是随机事件，每个事件的发生概率是独立的，因此至少发生一个的概率等于每个事件发生概率的和。由于题目中没有给出具体的事件概率，我们无法给出准确的答案。根据一般统计知识，随机事件至少发生一个的概率大约为33%至67%之间，具体概率取决于每个事件的发生概率的大小。总结：题目中没有给出具体的事件概率，因此我们无法给出准确的答案。根据一般统计知识，可以估计至少发生一个的概率大约为33%至67%之间。因此，答案为D。'
A: B: C: D:
A: B: C: D:
A: B: C: D:
A:0.44 B:0.1 C:0.5 D:0.3
AI参考:选项C正确：由题意知三个事件两两互斥，那么概率相加是等于1的，而每个事件的可能性就是事件本身的概率，因此题目中四个概率之和应该是等于1的，所以答案是C：0.5。'
A: B: C: D:
AI参考:正确选项为D：缺失事件。根据题目中的信息，已知事件组为
，且另一个事件为，其中两个事件图片的宽度和高度均已给出。而第三个事件A:0.21 B:0.24 C:0.3 D:0.5
AI参考:从给出的三个事件来看，每个图片的宽度和高度之间存在一定的比例关系。已知第一个图片的宽度为60.0pt，高度为19.5pt；第二个图片的宽度为174.75pt，高度为16.5pt。根据这两个已知事件，我们可以推断第三个图片的宽度和高度之间的比例应该接近于前两个图片宽高比的综合。由于第二个图片的宽度是第一个图片的3倍多，而高度只是稍微小一些，因此可以推断第三个图片的宽度应该是第一个图片的3倍多，而高度也应该稍大于第二个图片的高度。结合这两个推断，可以认为第三个图片的宽度应该在大约70到80之间，高度在大约20到22之间。所以正确选项应该是D:0.5。'
A:4 B:0.04 C:0.004 D:0.4
AI参考:答案：B解析：宽度乘以像素数量得到图像大小，像素数量为图片分辨率除以显示器的分辨率。这里两张图片的宽度比例为208.45/39.75，高度比例为18/15.75，因此大小比例为宽度比例的倒数乘以高度比例的倒数，即0.04。因此答案为B。'
A: B: C: D:
AI参考:答案：B推理过程：根据二维正态分布的性质，在任意一点的条件下，各个坐标的概率密度之和为1，因此只需要将各个坐标的概率密度相加即可。在
的条件下，由于和该条件无关，所以密度不变，仍然为密度。因此，条件概率密度为：++=1故选B。'A: B: C: D:
A: B: C:相互独立 D:
AI参考:从给出的分布律和已知条件来看，我们需要判断以下选项是否正确：A: 是否为真B: 是否为真C: 是否为真D: 是否为真分析：A: 由于题目中没有给出具体的概率值，我们无法确定第一个图像变量是否与第二个图像变量独立。所以选项A无法判断。B: 根据题目中的分布律，我们可以看到第一个图像变量和第二个图像变量之间没有相互依赖关系，所以选项B为真。C: 由于题目中没有给出具体的概率值，我们无法确定第一个图像变量是否与第三个图像变量独立。所以选项C无法判断。D: 根据题目中的分布律，我们只能知道变量之间的独立性，不能直接得出变量是否相互影响或互相影响多少，所以选项D也无法判断。因此，只有B选项“第二个图像变量和第一个图像变量之间没有相互依赖关系”是正确的。综上所述，正确答案为B。'
A: B: C: D:
AI参考:正确选项是【B】 切比雪夫大数定律适用于随机变量序列，要求随机变量之间是独立的，并且符合某种分布。在此题中，由于题干给出的两个图像已经是相互独立的随机变量序列，因此已经符合切比雪夫大数定律的条件。指数分布本身也符合切比雪夫大数定律的要求，即对于给定的概率空间和某个常数λ>0，对任意的连续型随机变量序列X₁,X₂,...,Xn,...满足Xk～λ（k=1,2,3,...,n,...），当样本空间足够大时，数学期望E[Xn]和方差Var[Xn]都趋于零时，则有lim(n→∞)P{|Xn-E[Xn]|}>ε=0。因此，只有选项B中的随机变量序列符合切比雪夫大数定律的要求。"
A: B: C: D:
A: B: C: D:
AI参考:正确选项为：BCD。解释：在概率论中，概率密度和分布函数是描述随机变量概率性质的两个重要概念。概率密度是描述随机变量取值的概率分布的密度函数，它是一个描述概率性质的函数，通常用小写字母表示，例如f(x)。分布函数则是描述随机变量取值累积概率分布的函数，通常用大写字母表示，例如F(x)。选项B、C和D都是概率密度或分布函数的名称或定义，因此都是正确的选项。而选项A并不是一个概率密度或分布函数的名称或定义，因此不是正确选项。'
A: B: C: D:
AI参考:正确选项为D：根据独立性假设，随机变量X和Y相互独立，则对于任意事件A和B，有P(A∩B)=P(A)P(B)。因此，对于题目中的三个随机变量，我们有：P(X≤1)P(Y≤1)=P(X≤1)P(X≤2)P(Y≤2)由于X和Y相互独立，所以上式可以简化为：P(X≤1)P(Y≤1)=P(X≤1)P(X≤2)P(Y≤1)P(Y≤2)又因为P(X≤1)=P(X≥2)=0.5，所以上式可以进一步简化为：P(Y≤1)=P(X≤2)P(Y≤2)由于题目中并未给出关于Y的条件分布或统计数据，所以我们无法进一步推导出关于Y的任何信息。因此，选项D为正确答案。'
A:事件一定能发生 B:事件不可能发生 C:事件发生的频率不一定为零 D:事件有可能发生
AI参考:正确选项为B：事件不可能发生。根据题意，事件发生的概率为零，这意味着该事件不可能发生，因此选项B是正确的。选项A、C和D都与题意不符。选项A的说法过于绝对，选项C则涉及频率问题，而题干只关注事件是否发生，不涉及频率。选项D则与题意矛盾，因为如果事件有可能发生，则其概率为一定值而非零。'
A:是必然事件 B: C: D:与互不相容
AI参考:正确选项是D：与互不相容。根据题目描述，事件A和事件B互不相容，即它们之间没有交集，或者说它们是独立的。因此，这两个事件不会同时发生，也就是说它们之间没有必然联系。在这种情况下，选项A“是必然事件”是不正确的。而选项B和C没有提供具体的内容，因此无法判断。所以，正确选项是D：与互不相容。'
A: B:不相关 C: D:
AI参考:由于您未提供具体的随机变量，我将基于以下基本概率密度函数，展示相关的选择：假设随机变量X服从正态分布，其概率密度函数为：f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp(- (x - μ)^2 / (2σ^2))其中μ是均值，σ是标准差。对于选项A：由于正态分布的概率密度函数与随机变量本身无关，因此无论随机变量取何值，其概率密度函数都是相同的。所以A选项正确。对于选项B：正态分布的概率密度函数与随机变量的相关性无关，因此B选项正确。对于选项C：正态分布的概率密度函数描述的是随机变量的概率分布，与相关性无关，因此C选项正确。对于选项D：正态分布的概率密度函数描述的是随机变量的概率分布，与独立性有关，但与相关性无关。因此D选项不正确。综上所述，正确的选项为A、B、C。'
A: B: C: D:
AI参考:根据所给分布函数，可以判断以下选项：A：该分布函数不连续，所以A不正确；B：该分布函数是离散型的，所以B不正确；C：该分布函数符合二项分布的形式，所以C正确；D：该分布函数没有给出具体的概率密度函数，所以D不正确。因此，选项C是正确的。'
A: B: C: D:
AI参考:对于这个问题，因为给出的图片是随机变量，我们需要通过查看两张图片之间的依赖关系来判断选项是否正确。由于两个随机变量没有提供具体的信息，因此我们无法从这些图片中得到它们之间是否存在依赖关系或独立关系。所以无法确定正确选项。总结：由于给出的图片没有提供足够的信息来确定两个随机变量之间的关系，因此无法选择正确答案。'
A: B: C:互不相容 D:
AI参考:正确选项是C：互不相容。根据题目描述，两张图片的尺寸不同，因此可以推断它们之间存在互不相容的关系。互不相容是一个逻辑术语，用来描述两个事物之间不存在交集或重叠的情况。在这种情况下，两张图片的尺寸不同，可以认为它们没有共同的特点或属性，因此可以推断它们互不相容。因此，选项C是肯定正确的结论。选项A、B和D都没有直接涉及到图片的互不相容关系，因此不能作为肯定正确的结论。'
A: B: C: D:
AI参考:因为给出的信息不完整，所以无法确定正确的选项。'
A:对 B:错
A:错 B:对
A:对 B:错
AI参考:题目中给出的内容似乎涉及的是概率密度函数的图像，但给出的图像并不完整，无法判断其是否为连续型随机变量，以及其概率密度函数的具体形式。因此，无法给出正确的答案。所以，答案是B:错。'
A:错 B:对
A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。根据题目描述，四个图片的源地址都是相同的，只是尺寸不同。如果前两个图片独立，那么后两个图片也应该是独立的，但题目中并没有给出后两个图片是否独立的信息，因此无法确定这个判断。所以，这个问题的答案是B：错。'
A:错 B:对
AI参考:这是一个关于随机变量相互独立性的问题。根据独立性的定义，如果两个随机变量相互独立，那么他们对同一随机事件的概率没有影响。在这里，我们知道随机变量X和Y是独立的，且同分布。这意味着X和Y对同一事件发生的概率是一样的。这意味着无论Y是否发生，X对某个事件的概率没有影响。又因为E[C(X)]表示的是随机变量X出现的条件下事件C发生的概率，因此无论事件C发生与否，对期望没有影响。即C(X)与E[C(X)]相互独立。所以，根据上述推理，我们可以得出结论：对于给定的随机变量X和Y，它们相互独立且同分布，那么E[C(X)]和E[C(Y)]也相互独立。因此，答案是B：对。'
A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。根据题目中的两个
A:错 B:对
A:错 B:对
AI参考:正确答案是B：对。根据泊松分布的定义和性质，可知题目中的判断是正确的。具体来说，泊松分布的概率质量函数为f(x;λ)，其中λ是泊松分布的参数，x是随机变量取值的次数。已知随机变量满足泊松分布，且λ的值为4，所以可以代入泊松分布的概率质量函数中进行计算，得到
服从于概率值为1/λ=1/4。因此，题目中的判断是正确的。'A:错 B:对
AI参考:答案：B。根据题意，三个图片的尺寸不同，且题干中没有提到这三个图片之间有任何关系，因此可以判断这三个图片是互不相关的，即它们之间没有互斥关系。因此，正确答案是B。'
A:错 B:对
AI参考:答案：A。由题意可知，两个随机变量的方差存在且不为零，则它们的相关系数为零，因此它们一定不相关。但是题目中只给出了一个随机变量的方差存在且不为零，因此无法得出两个随机变量一定不相关的结论。所以该题为错误选项。'
A:错 B:对
AI参考:答案：A。题目中给出的两个随机变量之间没有必然联系，因此第一个随机变量服从参数为2的指数分布，第二个随机变量在区间（0，1）上服从均匀分布这两个陈述之间没有逻辑关系。因此，题目描述是错误的。'
A:错 B:对
A:错 B:对
AI参考:答案是B：对。根据题目所给条件，这三个随机变量之间是相互独立的，并且具有相同的概率密度函数。因此，它们的联合概率密度函数也是相互独立的，可以用乘法法则求得。根据乘法法则，三个随机变量的联合概率密度函数可以表示为各个随机变量的概率密度函数的乘积，即：f(x, y, z) = f(x) * f(y) * f(z)其中f(x)表示随机变量x的概率密度函数，其他两个随机变量y和z的概率密度函数也是独立的。根据题目所给概率密度函数，可以得出答案为B：对。'
A:对 B:错
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