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高等代数
是4阶行列式中的一项。（ ）
是向量空间
中
个向量, 且中每一个向量都可由线性表示, 则是的一组基。（ ）- 数域
上任何多项式的次数都大于或等于零。（ ） - 任意多项式都能整除零次多项式。（ ）
- 设数域上的多项式
有
，则
或
。（ ） - 将
阶行列式
中所有元素都变成其相反数，则所形成的的行列式的值（ ）。 - 已知线性空间
的一组基为
，则向量
在上述基下的坐标是（ ）。 - 若
，则
（ ）。 - 已知4阶方阵
的秩是2,则其伴随矩阵
的秩是（ ）。 - 设
,
都是
阶非零矩阵,且
,则其和的秩（ ）。 - 设线性变换
有特征值1,2, 
是与1 对应的特征向量, 
是与2对应的特征向量,下列判断正确的是（ ）。 - 实二次型
的秩为2，则
（ ）。 - 已知
的两组基分别为
与
，则由基
到基
的过渡矩阵是( )。 - 已知
，则
（ ）。 - 设
是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（ ）。 - 已知
，则
等于（ ）。 - 设
,
为3阶的非零方阵,且
,则
=（ ）。 - 设
是非齐次线性方程组
的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ）。 
适合什么条件时，
（ ）。 - 若线性方程组的增广矩阵
，则此线性方程组（ ）。 设
,则方程
的根的个数为（ ）。- 下列命题正确的是（ ）。
- 多项式
有重根的t的取值为（ ）。 设
,则
（ ）。- 对于
阶实对称矩阵
，以下结论一定成立的是（ ） - 线性空间
的维数是（ ）。 - 欧氏空间
的线性变换
是对称变换的充要条件是对
，（ ）都成立。 
阶矩阵
可以对角化的充要条件是（ ）。- 秩为
的元实二次型
和
合同，则
的正惯性指数为（ ）。 - 设对称矩阵
与
合同，则二次型
的正惯性指数为（ ）。 - 设为
矩阵,
为
可逆矩阵,则下列说法正确的是（ ）。 - 设向量组
线性无关，
线性相关，则（ ）。 - 设欧氏空间的一组基
对应的度量矩阵是
，则能成为标准正交基的充要条件是为（ ）。 - 已知欧氏空间中的两个非零向量
满足
，且
，则向量夹角为（ ）。 - 设
是
阶方阵，且
，那么在的个行向量中（ ）。 - 设
为4阶实对称的正交矩阵，并且1为的2重特征值，则
（ ）。 - 已知
，则下列结论正确的是（ ）。 - 已知二次型
，经过正交变换
化为标准形
，则正交矩阵
（ ）。 - 已知
矩阵
的行向量组线性无关,则
等于（ ）。 - 3阶行列式
中元素
的代数余子式
=（ ）。 - 已知三阶矩阵
的三个特征值分别为
，则
（ ）。 - 设3阶实对称矩阵
的3个特征值分别为1,2,3，矩阵对应于特征值1,2的特征向量分别为
，则下面的向量中属于矩阵对应于特征值3的特征向量为（ ）。 - 下列命题错误的是（ ）。
- 设
是一个三阶实矩阵，如果对于任一三维列向量
，都有
，则（ ）。 - 已知三阶矩阵
的行列式为
，且
的特征值为
，则
（ ）。 - 设阶方阵满足
,则必有（ ）。 - 由数域
上所有的2行3列矩阵组成的线性空间
，则下列线性空间中与它同构的是（ ）。 - 行列式
的值为（ ）。 - 已知
为
阶矩阵，则下列结论成立的是（ ）。
A:错 B:对
答案:错
A:错 B:对
答案:错误AI参考:题目中给出的信息不足以判断是否为基。因为向量空间中的基需要满足任意一个向量都可以由基向量线性表示，但是题目中只给出了一个向量和一个向量空间，而没有给出其他向量，因此无法判断该向量是否可以由该基线性表示。所以，无法得出正确答案，选项A和B都错误。'
A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。数域上任何多项式的次数都大于零，但不一定大于或等于零。因为多项式的次数是最高次项的次数，而负数的偶次幂是正数，因此多项式次数可以为负数。所以这个说法是错误的。'
A:对 B:错
答案:错
A:对 B:错
AI参考:答案是B：错。根据多项式的定义，多项式是由有限个单项式的和组成的代数式。在这个问题中，多项式是由两个单项式相加得到的，而选项中给出的两个多项式只有一个单项式，因此这个判断是错误的。'
A:. B:0 C: D:
答案:对AI参考:正确答案是B：0。将矩阵中所有元素都变成其相反数后，矩阵变为其转置矩阵，转置矩阵的行列式与原矩阵的行列式相等，但符号相反，所以原行列式的值变为0。'
A: B: C: D:
答案:(2,-3,1)AI参考:正确答案是D选项。根据线性空间的一组基的定义，向量在基下的坐标就是该向量在各个坐标轴上的分量值。因此，向量α在基B下的坐标为（2，-1，1）。答案为D。'
A: B: C: D:
AI参考:正确选项是【B】。第一个图片宽度较小，高度较大，第二个图片宽度较大，高度较小，两个图片尺寸差异较大，且第一个图片宽度较小，所以第一个图片在前面，第二个图片在后面。所以选择B选项。'
A:4 B:0 C:2 D:1
AI参考:答案：D推理过程：已知矩阵的秩为2，说明矩阵中至少有两个列向量是线性无关的，那么其伴随矩阵的秩就等于原矩阵的秩，即2。'
A:一个小于n,一个等于n B:都等于n C:都小于n D:必有一个等于0
AI参考:根据题意，
和都是非零矩阵，且阶大于n，所以它们的秩都等于n。因此，正确答案是B：都等于n。'A:与线性无关 B:是的特征向量 C:与线性相关 D:与正交
AI参考:答案：D推理过程：特征向量是线性变换保持不变的向量，显然2对应的特征向量是与线性无关的，因此排除A选项。由特征向量的定义可知，特征向量是线性变换保持不变的向量，而题干中与特征值1对应的特征向量是与线性变换保持垂直的向量，所以排除B选项。特征向量与对应的特征值是线性无关的，而特征向量与特征值1、2都无关，所以与线性无关，因此排除C选项。与线性变换保持垂直的特征向量叫做正交向量，与特征值对应的特征向量正交也是正确的选项，所以答案为D。'
A:1 B:4 C:3 D:2
AI参考:从题目的信息来看，实二次型的秩为2，说明该二次型的矩阵是对称矩阵，且最多只有两个线性无关的线性变换就可以使其矩阵变为对角线形式，此时其对角线上的元素个数就是该二次型的秩。因此，二次型的矩阵应该是一个2*2矩阵，其秩为2，所以该二次型的秩为2。因此，正确选项是D: 2。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。已知矩阵的转置矩阵为过渡矩阵，因此由基
到基的过渡矩阵是它的转置矩阵。即C选项。'A: B: C: D:
AI参考:已知
，那么第二个图片，两个图片尺寸不一致，因为中的宽度为213px，而中的宽度为91px。因此，正确答案是B。'A:也是正交矩阵 B:也是正交矩阵 C:也是正交矩阵 D:也是正交矩阵
AI参考:正确答案是B。由于图像
是同阶正交矩阵，因此矩阵中每一行的平方和都等于矩阵的行列式，所以A、C、D选项都正确。而B选项中，矩阵中每一列的平方和等于矩阵的行列式，而正交矩阵的行列式为±1，所以B选项错误。因此，正确答案是B。'A: B: C: D:
A: B: C: D:
AI参考:从给出的图片信息来看，我们无法直接得出选项。这个问题需要进一步的分析和计算。因此，无法选择正确答案。'
A: B: C: D:
A: B:且 C:或 D:
AI参考:答案为 C：或。题目中给出的两个图像的来源是不同的，即它们的url不同，所以需要使用"或"来连接这两个条件。选项A和D都是表示逻辑上的"与"关系，不符合题意。选项B虽然也是表示逻辑关系，但是不够明确，因此也不合适。因此，答案为C。'
A:可能无解 B:可能有无穷多解 C:一定有无穷多解 D:一定无解
AI参考:正确答案是【B】。从给定的线性方程组的增广矩阵可以看出，此线性方程组中含有未知数的系数在矩阵中完全不确定，从而增加了解的个数的不确定性。所以，此线性方程组可能有无穷多解。'
A:3 B:1 C:0 D:2
AI参考:正确答案是C：0。根据图像信息，两个方程的图像都是一条直线，因此两个方程的根应该都是相等的，即方程的根的个数为0。因此，正确答案是C。'
A:如果 是的重根，那么 是的重根 B:如果 是的重根，那么 是的重根 C:如果 是次多项式，则有重根 D:如果 是的重根，那么 是的重根
AI参考:答案是D：如果 是的重根，那么 是的重根。根据多项式定理，如果一个多项式的次数等于或超过6，那么这个多项式最多有有限个根。如果一个多项式有重根，那么它的所有根都是重根。因此，选项D是正确的，而其他选项都是错误的。选项A和B中的句子顺序不正确，选项C则没有提到多项式的次数。'
A: B:3 C:3或者 D:可取任意数
AI参考:正确答案是D：可取任意数。根据多项式有重根的定义，可得出答案为可取任意数。其他选项如3或者∞均为重根取值不恰当的情况。'
A: B: C: D:
AI参考:正确选项是C: 无法加载图片。由于第一个图片的宽度和高度都大于第二个图片，而图片的加载需要满足一定的尺寸比例，如果尺寸比例不匹配，可能会导致图片无法加载。因此，第一个图片无法加载，而第二个图片可以正常加载。所以，答案为C。'
A:它的特征值一定是整数 B:存在正交矩阵，使得为对角矩阵 C:一定有个互不相同的特征值 D:属于不同特征值的特征向量必线性无关，但不一定正交
AI参考:正确选项是C：一定有个互不相同的特征值。对于给定的两个矩阵，它们都是实对称矩阵，因此可以进行特征值和特征向量的计算。根据实对称矩阵的性质，它的特征值一定是实数，且对于不同的特征值，对应的特征向量一定线性无关。因此，选项A和D都是正确的。对于选项B，存在正交矩阵，使得为对角矩阵，这个结论只适用于实对称矩阵，而题目中给出的矩阵不一定是实对称矩阵，因此这个结论不一定成立。因此，只有选项C一定成立。这个结论可以通过对矩阵进行特征值和特征向量的计算来证明。对于给定的矩阵，它的特征值一定是互不相同的实数，因为它们是由矩阵的形状决定的。同时，对于不同的特征值，对应的特征向量一定线性无关，因为它们是由不同的特征值对应的特征矩阵的特征向量组成的。因此，选项C是正确的。'
A:1 B:3 C:4 D:2
A: B: C: D:把中的标准正交基变成标准正交基
AI参考:答案是D，因为线性变换是对称变换，所以必须满足对任意的向量a，存在变换矩阵A使得向量a和A的转置*A的列向量都是该线性变换的变换矩阵。其中把矩阵中的标准正交基变成标准正交基这一项成立。故本题选D。'
A:有个不相同的特征向量 B:有个全不相同的特征值 C:的任一特征值的重数与其线性无关特征向量的个数相等 D:有个不全相同的特征值
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D。根据实二次型的合同定义，两个实二次型具有相同的秩，且正惯性指数相同。因此，答案为D。注意：本题中给出的图片可能存在格式错误或加载问题，请忽略图片内容。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。二次型矩阵合同，则二次型的秩相等，所以正惯性指数为1，选C。对于惯性定理的证明可以参看高等代数，很复杂。如果学过线性代数可以直观地理解：在惯性定理中，我们把一个二次型的标准型展开为两两正交的坐标变量的多项式，因此对应每个单项式的系数就对应一个不变行列式（就是所谓的惯性矩阵），所以对于标准型中的每个单项式（系数构成一个新的矩阵），只要该矩阵的秩和原二次型的秩相等，则其正负惯性指数相等。这个证明中最重要的结论就是对于矩阵来说，当相似不变量行列式时，也就是合同时，他们的正负惯性指数是相等的。这个结论对实对称矩阵也是成立的。故此题中答案为C。关于惯性定理的其他结论有：实二次型的标准型中不含的二次型个数（重根个数）即为正惯性指数；秩等于1的实二次型的规范型中每一项均为0等。对于判断矩阵是否合同比较常见的是判定相似矩阵的行列式是否相等。所以遇到考察惯性的题一定要注意根据标准型考虑对应的行列式等，千万不要去强行比较特征值、判定正负惯性指数是否相等。当然矩阵合同的性质还要熟练的记忆一下：AB合同关系是相容的、可逆的且B是对称矩阵；合同不要求可逆等。对于不考察特性的问题不要花时间去讨论一些定理的条件问题，能做到考场上不出错就已经是成功的一半了。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C：矩阵可逆。根据题目中的信息，矩阵A和矩阵B都是可逆矩阵，因此选项C“矩阵可逆”是正确的。选项A、B、D都没有给出正确的信息。'
A:必不可由线性表示 B:必不可由线性表示 C:必可由线性表示 D:必可由线性表示
AI参考:答案：A推理过程：根据向量组中第一个向量与第二个向量线性无关和第二个向量线性相关可知第一个向量线性无关的，那么第一、三个向量必线性无关。由于第三向量由第一个向量唯一确定，而线性无关的向量组最多含有的向量个数为有限个，所以第三个向量必能由第一个向量线性表示。因此选A。'
A:单位矩阵 B:正交矩阵 C:对角矩阵 D:对称矩阵
AI参考:正确答案是C，对角矩阵。因为一个矩阵可以表示为一个对角矩阵，其主对角线上的元素为该组基中各个向量的模的平方，其余元素为零。若要求这个矩阵为单位矩阵，那么其他非对角线上的元素就必须都为零，这保证了各个向量两两之间的正交性。但是只有对角矩阵能够同时满足两两正交性和每个向量的模的平方等于对应的对角线元素，因此只有对角矩阵能够使得该组基成为标准正交基。所以正确答案是C。'
A: B: C: D:
AI参考:从题目的图像中，我们可以看到向量
与 夹角为 π/3，向量 与 夹角为 π。根据这两个信息，可以得出第三个向量的夹角应该是 5π/3。因此，正确答案是D。'A:任意个行向量都是的行向量组的一个最大无关组 B:任意一个行向量都可以由其他个行向量线性表示 C:必有个行向量线性无关 D:任意个行向量线性无关
AI参考:正确答案是C。根据题意，我们知道这是一个2阶方阵，那么我们就可以知道它的列数和行数都是2。因此，在个行向量中，必定有至少一个向量是线性无关的。因为，如果所有行向量都线性相关，那么这个矩阵就没有非零的列向量了，这与已知条件不符。所以选项C是正确的。其他选项如A、B、D都不能保证所有的行向量线性无关，因此是错误的。'
A:9 B:0 C:1 D:64
AI参考:根据题目描述，
是一个4阶实对称的正交矩阵，并且1是它的一个特征值。对于一个实对称矩阵，它的特征值和特征向量是唯一的，并且与矩阵的尺寸无关。因此，如果一个矩阵有特征值1，那么它必定可以表示为两个相乘的特征向量。根据正交矩阵的性质，可以将正交矩阵表示为特征向量的矩阵乘积。对于一个4阶实对称矩阵，它一定有两个特征向量，并且这两个特征向量的乘积等于单位向量。因此，的值为两个特征向量的乘积，即特征向量之积乘以1（特征值），所以答案为选项A：9。'A:A的行列式不为零 B:A的特征值全为零 C:A的只有一个线性无关的特征向量 D:A相似于对角矩阵
AI参考:从给出的图片信息无法得出选项A、B、C、D的正确结论，因为这是一个图片链接，而非一个具体的矩阵。所以，无法根据这个图片推断出A的行列式不为零、A的特征值全为零、A的只有一个线性无关的特征向量以及A相似于对角矩阵等结论。因此，答案为“无法确定”，即选“D”。'
A: B: C: D:
AI参考:正确选项是【C】。根据二次型的正交变换化简为标准形，可知正交矩阵的列向量组就是标准形矩阵的特征向量，所以只需要求出标准形矩阵的特征值和特征向量即可得到正交矩阵。由题可知，标准形矩阵的特征值为1和0，且只有一个特征向量，即正交矩阵的列向量组。所以正交矩阵为[1 0; 0 1]，答案为C。'
A:3 B:4 C:2 D:1
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D：行列式中元素符号的代数余子式为：$(-1)^{t(a,b)}$ × $det(a_1 b_2 b_3 c_1 b_4 b_5)$其中$t(a,b)$为(a,b)元素对所形成的二阶子式有符号变换次数的最小值。此题中(1,2)位置上的元素符号为负，则其代数余子式为正，$det(a_1 b_2 b_3 c_1 b_4 b_5)$即为原行列式，所以答案为正数，故选D。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是D。由题意可知，矩阵的特征多项式为f(λ)=|λE-A|=λ^3-λ^2-2λ-1，三个特征值分别为-1，-2，-3，所以矩阵的特征多项式f(λ)的根为-1，-2，-3，所以矩阵的特征值为-1，-2，-3。故答案为D。'
A: B: C: D:
AI参考:正确答案是C。特征值对应的特征向量必须是线性无关的，因此根据题意，矩阵A对应于特征值3的特征向量只能是(0, 0, x)的形式，即该向量必须与前两个特征向量线性无关。因此选项C是正确的。'
A:初等变换总是把方程组变成同解得方程组 B:矩阵的初等变换都是可逆变换 C:线性方程组的初等变换都是可逆变换 D:齐次线性方程组方程的个数小于或等于未知量的个数，一定有非零解
A: B: C: D:
AI参考:单选题不完整，无法提供正确答案。'
A: B: C: D:
AI参考:根据题干，矩阵的特征多项式为：f(λ) = |\begin{matrix} lambda - a & b & c \\\r -b & lambda - b & d \\\r -c & -d & lambda - d \\\rend{matrix}|。其中a、b、c、d为特征方程的特征值。根据题干所给矩阵行列式和特征值，可得出矩阵的特征多项式为：f(lambda) = |\begin{matrix} lambda^3 - 3lambda^2 + 2lambda & 2lambda & 1 \\\r -2lambda & lambda^2 - 2lambda & 1 \\\r -1 & -1 & lambda - 2 \\\rend{matrix}|。因此，正确选项为C。'
A: B: C: D:
AI参考:答案为D，A项“无法判断”，因为这两个式子看起来是矩阵式，且在二维空间上看来大小不一样，一个是普通数字方阵，一个更像是数字在方阵里的阶乘式子。而且不能简单套用常规公式判断两者是否有必然关系，而没有更深层次的研究很难断定两个矩阵式子的联系；B项“符号计算无果”，因为在实数矩阵的计算中并没有像虚数部分影响判断。两者本质并无差别，都可以按照运算律、交换律进行。但如果借助复数等其它概念尝试将方阵设为复数行列可能有助于理解；C项“无规律可循”，从式子本身看，两者并没有明显的规律，只是看起来像阶方阵和阶乘的组合。而阶方阵与阶乘在数学上并无直接联系；D项“两个矩阵存在递推关系”，两个式子可以看作两个矩阵存在递推关系。对于两个矩阵是否为同一个含义的表示形式或是对一个矩阵的进一步描述有待后续的研究或论证。综上，此题选择D选项。由于该题给出的两个式子比较抽象，故暂无法断定它们是否有联系，只有等待后续更多的数据或研究支持来验证这个命题。'
A: B: C: D:
A:2 B:-1 C:1 D:0
AI参考:正确答案是D：0。行列式中，如果某一行或某一列的元素全为0，则该行列式为0。题中行列式最后一列全是0，所以答案为D。'
A:相似，则合同 B:相似，则等价 C:等价，则合同 D:等价，则相似
AI参考:答案是D:等价，则相似。题目中给出两个矩阵，其中一个矩阵是另一个矩阵的子矩阵，所以这两个矩阵相似。又因为两个矩阵都是对角线元素有平方值的矩阵，所以这两个矩阵是等价的。因此，答案为D：等价，则相似。其他选项在题干条件下都不能被证明为正确或错误。'
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