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高等数学（下）（山东联盟）第二章_智慧树知到答案2021年

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第二章多元函数微分法及其应用：本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数微分法及其应用。讨论中我们以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生新的问题，而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。。2.1多元函数的基本概念:本节从平面点集入手，引入了二元函数的概念，然后将其推广到一般的多元函数。多元函数的本质仍然是映射，只不过其定义域是高维空间的点集而已。除了多元函数的概念，本节还介绍了多元函数的极限和连续等重要内容。提醒读者注意，所谓函数在某点的二重极限存在，是指当定义域内的动点沿任意方式趋于该点时，函数值都无限接近于同一个确定的常数。否则，二重极限不存在。
2.2偏导数:本节介绍偏导数的概念及其求法。多元函数的自变量不止一个，如果只将其中一个作为自变量，而将其余自变量看作常量，那么多元函数关于该自变量的变化率，就是所谓偏导数。偏导数的计算不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，其余的自变量看作固定的，所以仍旧是一元函数微分法问题。关于高阶混合偏导数，提醒大家关注求导与次序无关的条件。
2.3全微分:本节介绍可微与全微分的概念、可微的条件以及全微分在近似计算中的应用。我们知道，一元函数在某点可导与可微是等价的。但对于多元函数来说，情况就不同了。若多元函数在某点可微，则在该点一定可偏导。反之不成立。但若偏导函数存在且连续，则一定可微。多元函数的全微分满足叠加原理，即全微分等于偏微分之和，要求读者熟练掌握全微分的计算方法。
2.4多元复合函数的求导法则:本节将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。要求读者熟练掌握多元函数的一阶、二阶偏导数的求法，理解一阶全微分形式的不变性。掌握多元复合函数求导法则的关键是搞清函数的复合结构，画出变量间的关系图。
2.5隐函数的求导法:由方程或方程组所确定的函数，称为隐函数。本节学习隐函数存在定理，讨论隐函数求导的方法。隐函数求导主要有三种方法：一是利用隐函数求导公式；二是对所给方程（组）两端求导，再解出所求的导数或偏导数；三是利用一阶全微分形式的不变性。
2.6多元函数微分学的几何应用:本节先介绍一元向量值函数及其导数，再讨论多元函数微分学的几何应用。要求读者熟练掌握向量值函数的导数及其几何意义，学会空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法。
2.7方向导数:偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，而方向导数则讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。梯度是一个矢量，沿梯度方向，方向导数最大。本节要求同学们熟练掌握方向导数的定义、存在条件和计算方法，掌握梯度与方向导数之间的关系。
2.8多元函数的极值:与一元函数类似，多元函数的极值也是一个局部概念，而最大值、最小值是整体概念。本节主要解决三个问题：第一，二元函数取得极值的条件、极值的求法；第二，二元函数最大值、最小值的计算；第三，条件极值问题。要求同学们学会利用极值的充分条件进行极值的判定，熟练掌握关于实际问题最优值的求解方法，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法。