第四章 曲线积分与曲面积分：上一章已经把积分概念从积分范围为数轴上的区间推广到积分范围为平面或空间闭区域的情形。本章继续把积分概念推广到积分范围为曲线弧或空间曲面的情形，这就是所谓的曲线积分与曲面积分。4.1对弧长的曲线积分:本节从曲线形构件的质量入手，引入对弧长的曲线积分的概念，然后讨论对弧长的曲线积分的性质与计算方法。对弧长的曲线积分，本质仍然是某种特定形式和式的极限。计算对弧长的曲线积分的基本思路是化为定积分求解，其中弧长的微元是解决问题的关键。本节还要求读者能够运用对弧长的曲线积分求解诸如物质曲线的质量、质心、转动惯量等问题。[判断题]
4.2对坐标的曲线积分:本节由变力沿曲线所作的功，引入对坐标的曲线积分的概念，然后讨论对坐标的曲线积分的性质与计算方法。计算对坐标的曲线积分，仍然是化为定积分来求解。必须强调的是，改变积分弧段的方向，积分值要变号。两类曲线积分既有区别又有联系，需要读者多加关注。
4.3格林公式:作为牛顿—莱布尼茨公式的推广，格林公式表达的是平面闭区域上的二重积分与区域边界线上的曲线积分之间的联系。本节首先介绍格林公式，然后利用格林公式证明积分与路径无关的条件，最后讨论二元函数的全微分求积问题。格林公式是求解封闭曲线上积分问题的重要方法，要求熟练掌握。
4.4对面积的曲面积分:与第一类曲线积分类似，由曲面形构件的质量可以引入对面积的曲面积分。对面积的曲面积分的计算方法是化为二重积分来求解。本节还要求读者能够运用对面积的曲面积分求解诸如物质曲面的质心、转动惯量等问题。
4.5对坐标的曲面积分:本节由流量问题引入对坐标的曲面积分的概念，然后讨论对坐标的曲面积分的性质与计算方法。计算对坐标的曲面积分，仍然是化为二重积分来求解。必须强调的是，改变积分曲面的侧，积分值要变号。利用有向曲面元的投影，可以实现两类曲面积分之间的转化。
4.6高斯公式:格林公式表达的是平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。高斯公式是计算闭曲面上的曲面积分的重要工具，但要注意验证公式的条件是否满足。另外，需要读者注意场论中通量与散度等概念。
4.7斯托克斯公式:斯托克斯公式是格林公式的推广，它把曲面上的曲面积分与沿着曲面边界曲线的曲线积分联系起来。格林公式、高斯公式以及斯托克斯公式是多元函数积分学中三个重要公式，在许多方面具有重要应用，要求读者必须熟练掌握。本节还介绍了场论中环流量与旋度等概念。
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